Коливання в сингулярно обурених задачами реакції-дифузії з кінцевими елементами

Коли FEM дискретизує та вирішує задачу про дифузію реакцій, наприклад, з (сингулярне збурення), рішення дискретної задачі, як правило, має коливальні шари, близькі до кордону. З , та лінійними кінцевими елементами рішення вигляд

- ε Δ u + u = 1 on Ω u = 0 on \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

рішення сингулярно обуреної задачі

Я бачу, що там є багато літератури для таких небажаних ефектів, коли вони викликані конвекцією (наприклад, розвороту вітром), але коли мова йде про реакцію, люди, здається, зосереджуються на вишуканих сітках (Шишкін, Бахвалов).

Чи існують дискретизатори, які уникають таких коливань, тобто зберігають монотонність? Що ще може бути корисним у цьому контексті?

— Ніко Шльомер
джерело

Чи не є центральною різницевою схемою збереження монотонності, оскільки це призводить до M-матриці ?

— Хуй Чжан

@HuiZhang На жаль, ні. Для кінцевих елементів реакція вносить що створює позитивні записи.

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

— Ніко Шльомер

@HuiZhang Ви праві, звичайно, у випадку кінцевих різниць (і кінцевих обсягів теж). Я пристосую відповідь, щоб чіткіше сказати, що мене цікавлять кінцеві елементи.

— Ніко Шльомер

Перервані методи Галеркіна стали досить популярними для подібних проблем - ви подивилися книгу Ді П'єтро та Ерна?

— Крістіан Класон

Відповіді:

У випадку, який ви показуєте, розчин має прикордонний шар. Якщо ви не можете вирішити цю проблему, оскільки ваша сітка занадто груба, тоді рішення з усіх практичних питань розривається з числовою схемою.

Тепер, якщо ви просто застосуєте стандартну дискретизацію до цієї проблеми, дискретний розв’язок є результатом застосування оператора лінійної проекції до точного рішення, що проектується на кінцевий розмірний простір. Це насправді нічим не відрізняється, ніж, наприклад, взяття перших термінів серії Фур'є. Але там ви знаєте, що трапиться, коли застосуєте його до переривчастої функції: ви отримуєте явище Гіббса із зайвими та нижчими знімками. Тут ситуація насправді не відрізняється, і це станеться з будь-якою лінійною схемою. $N$

По суті, існує два підходи, які ви можете дотримуватися, щоб вирішити цю проблему: (i) Ви додаєте штучну дифузію , тобто додаєте термін дифузії, пропорційний розміру сітки до деякої потужності; це збільшує розмір прикордонного шару до ширини, яка може бути представлена сіткою, але вона повертається до як . (ii) Ви використовуєте нелінійну схему проекцій; у гіперболічній літературі є будь-яка кількість таких схем, наприклад, ударне захоплення, обмеження нахилу тощо. $\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

— Вольфганг Бангерт
джерело

TL; DR: Ваші варіанти обмежені: 1) адаптувати грубу силу для точного і дорогого рішення 2) використовувати числову дифузію для менш точного, але стабільного рішення або (мій улюблений) 3) використовувати той факт, що це особлива проблема збурень і вирішити дві недорогі внутрішні / зовнішні проблеми і нехай відповідні асимптотики виконують свою магію!

Якщо ви дійсно повинні отримати рівномірне числове рішення проблеми, насправді не дуже багато можна зробити за межі адаптивного впорядкування сітки. Ви стикаєтеся з особливою проблемою збурень, яка розвиває граничний шар товщиною біля кордону. Цей прикордонний шар розділяє внутрішній і зовнішній розчини. $\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

Якщо точніше, розглянемо ліву межу, де . У цій області можна змінити масштаб рівняння, використовуючи розтягнуту координату , для внутрішнього рішення: $x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ u_{i} + u_{i} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

піддаються граничним умовам і . Для зовнішнього рішення передбачається, що і таким чином домінуючий баланс знаходиться між та що просто дає . Маючи під рукою зовнішнє рішення, тепер ви можете легко вирішити регульоване внутрішнє рішення - в цьому випадку навіть аналітично. $u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$

Це насправді техніка, яка була (і досі є) дуже популярною для вирішення проблем ламінарного прикордонного шару в механіці рідин. Насправді, якщо ви подивитеся на рівняння Нав'є-Стокса, при високих числах Рейнольдса, ви фактично стикаєтеся з поодинокою проблемою збурень, яка, як та, яку ви згадали тут, розвиває прикордонний шар (цікавий факт: терміни "граничний шар" у збуренні аналіз фактично випливає з проблеми, що межує з прикордонним середовищем, яку я тільки що описав)

Отже, ще в той час, коли обчислювальні ресурси були дуже обмеженими, типовою справою було поділ зовнішніх та внутрішніх проблем. Для зовнішнього спочатку слід вирішити потенційний потік (аналогічний тут), а для внутрішнього - добре рівняння прикордонного шару! Все це без необхідності фантазійних адаптивних методів, якщо ви вирішили всю проблему одразу і в одній обчислювальній області. $u_0 = 1$

— GradGuy
джерело