Як слід ставитися до нестабільних коефіцієнтів за схемою вітрів кінцевого обсягу першого порядку?

11

Починаючи з рівняння адвекції у формі збереження.

у_{т} = (а (х) у)_{х}

$u_t = (a(x)u)_x$

де - швидкість, яка залежить від простору, а - концентрація виду, яка зберігається. $a(x)$ $u$

Декретизація потоку (де потік , визначений на краях комірок між точками сітки) дає, $f=a(x)u$

у_{т} = \frac{1}{год} (f_{j - \frac{1}{2}} - f_{j + \frac{1}{2}})

$u_t = \frac{1}{h}\left( f_{j-{\frac{1}{2}}} - f_{j+{\frac{1}{2}}} \right)$

Використовуючи перший порядок вперед, ми наближаємо потоки як:

f_{j - \frac{1}{2}} = а (х_{j - \frac{1}{2}}) у_{j - 1} f_{j + \frac{1}{2}} = а (х_{j + \frac{1}{2}}) у_{j}

$f_{j-{\frac{1}{2}}} = a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} \\ f_{j+{\frac{1}{2}}} = a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j}$ Що дає,

у_{т} = \frac{1}{год} (а (х_{j - \frac{1}{2}}) у_{j - 1} - а (х_{j + \frac{1}{2}}) у_{j})

$u_t = \frac{1}{h} \left( a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j} \right)$

Якщо був постійним, це зводиться до звичної схеми вітру, тобто . $a(x)$ $u_t = \frac{a}{h} \left( u_{j-1} - u_{j} \right)$

Моє запитання полягає в тому, як ми можемо ставитися до непостійних коефіцієнтів рівняння адвекції? Швидкість визначається в центрах клітин, тому простий підхід був би наступним,

а (х_{j - \frac{1}{2}}) \to а (х_{j - 1}) а (х_{j + \frac{1}{2}}) \to а (х_{j})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j-1}) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j})$

Це мій переважний підхід, оскільки його дуже просто здійснити.

Однак ми також могли б використовувати (я здогадуюсь) схему усереднення для визначення швидкості по краях комірки,

а (х_{j - \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} а (х_{j - 1}) + \frac{1}{2} а (х_{j}) а (х_{j + \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} а (х_{j}) + \frac{1}{2} а (х_{j + 1})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j-1} ) + \frac{1}{2}a(x_{j} ) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j} ) + \frac{1}{2}a(x_{j+1} ) \\$

У книзі ЛеВека він говорить:

Поки ми припускали, що змінна швидкість задається постійним значенням всередині j-ої комірки сітки. У деяких випадках більш природно вважати, що швидкість задається на кожному інтерфейсі комірок. $a(x)$ $a_j$ $a_{j−{\frac{1}{2}}}$

Але він насправді не надто детально розвивається після цього. Що таке спільний підхід?

Я вирішую проблему збереження (я використовую рівняння адвекції як рівняння безперервності), тому я хочу переконатися, що після застосування дискретизації збереженість властивості збереження. Я хотів би уникнути прихованих сюрпризів щодо цих змінних коефіцієнтів! Хтось має загальні коментарі та рекомендації?

Оновлення Нижче наведено два справді хороших відповіді, і я міг вибрати лише один :(

discretization finite-volume numerical-analysis

— boyfarrell
джерело

4

В залежності від того , якої системи ви дивитеся, це може бути більш зручно розглядати швидкість , як кусочно-постійна в кожній клітинці, або що він визначений на межі комірок. Наприклад, в метеорології досить поширені шаруваті сітки , де може бути визначений тиск усередині клітинок і швидкість на клітинних інтерфейсах. Ви можете так само легко подумати про швидкість, як визначено в клітинках. Все сказане: вибір представництва не повинен впливати на конвергенцію вашого методу *, за умови, що ваша дискретизація є стабільною та послідовною. $a$

Найголовніше (і ви вже зачіпали це у своєму питанні) - це те, що дискретизована система все ще консервативна. За умови, що вашу схему можна записати у формі

$\frac{\partial u_j}{\partial t} = F_{j-\frac{1}{2}}(u_{j-1},u_j) - F_{j+\frac{1}{2}}(u_j,u_{j+1})$

то він повинен бути консервативним, оскільки

. $\frac{\partial}{\partial t}\int u dx = \sum_j\frac{\partial u_j}{\partial t}\delta x = \sum_j( F_{j-\frac{1}{2}}- F_{j+\frac{1}{2}} )\delta x = (F_{-\frac{1}{2}}-F_{N+\frac{1}{2}})\delta x$

Ваш простий підхід повинен працювати добре, як і усереднення швидкості між клітинками, щоб визначити його на стільникових інтерфейсах, за умови, що швидкість завжди позитивна. Більше того, я не думаю, що усереднення приведе до вас будь-яку більш високу точність, тому ви праві віддати перевагу простому способу.

Якщо ви також вирішуєте швидкість і у вас є система рівнянь, можливо, вам знадобиться бути більш уважними. Так само, якщо ви вирішуєте нелінійний гіперболічний ФДЕ і використовуєте обмежувачі потоку, ви повинні бути ще обережнішими.

* Однак для системи гіперболічних ФДЕ використання шаруватих сіток може значно покращити штучну дисперсію / дифузію. Якщо ви хочете дізнатися більше, знайдіть C-сітки Arakawa або ознайомтеся з розділом 4 цієї книги .

— Даніель Шаперо
джерело

Дякую за пояснення. І ваша інтуїція правильна; Я вирішую систему рівнянь, де одним з рівнянь є швидкість (PDE інших змінних). Система рівнянь лише 1D, я планую використовувати адаптивний метод 1-го порядку вітряного вітру (може переходити між центральним та вітром 2-го порядку), можливо, з експоненціальною підгонкою. Я не використовую обмежувачів потоку, але система нелінійна. Чи потрібно мені бути "обережнішим" у цій ситуації?

— boyfarrell

Все залежить від того, якщо ви очікуєте утворення ударних хвиль тощо, якщо є можливість, що швидкість в деяких регіонах опуститься нижче нуля, або якщо швидкість може стати достатньо високою, що ви зіткнетеся з умовою Куранта-Фрідріха-Леві в деякій точці. З цього приводу я спершу спробую простий підхід, щоб зрозуміти, чи працює він, що цілком може зробити. Якщо це вийде з ладу, це зробить це видовищно та однозначно, тому я не думаю, що вам не потрібно турбуватися про те, щоб щось не ковзало під вашим радаром.

— Даніель Шаперо

Так, я очікую, що швидкість буде лише ненульовою лише в центрі мого домену, а потім швидко наближається до нуля, коли людина віддаляється від центру. Я вибираю крок часу, щоб умова CFL була задоволена (використовуючи максимальну швидкість), сітка фіксується. Які критерії ударної хвилі? Я не чекаю цього побачити (але ти ніколи не знаєш).

— boyfarrell

5

$a(x)$

Що я маю на увазі під послідовністю, це те, що єдиною умовою, яку потрібно виконати інтерполяцією, є

а_{i + 1 / 2}^{+} = а_{i + 1 / 2}^{-}

$a_{i+1/2}^+ = a_{i+1/2}^-$

Іншими словами, якщо ваш метод інтерполяції буде безперервним через межі комірок, ваша дискретність гарантовано залишатиметься консервативною.

Це може здатися не великою проблемою тут в 1D (і не повинно бути), але це може спричинити проблеми в інтерфейсах з грубою точністю на багаторівневих сітках AMR.

— GradGuy
джерело

u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

a (x_{j + \frac{1}{2}})

$a(x_{j+\frac{1}{2}})$

a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to a (x_{j + 1})

$a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j+1})$

u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

@boyfarrell Це було б нормально в тому сенсі, що метод залишається консервативним. Однак це впливає на точність рішення. Часто, наприклад, в схемах ENO, можна наблизити всю функцію потоку, а не швидкість і рішення окремо.

— GradGuy

4

$a(x_{j-\frac{1}{2}})$

Щоб зрозуміти, чому це так, врахуйте, що аналітичне визначення консервативного полягає саме в цьому

\frac{\partial}{\partial т} \int_{D} у (х) г х = \int_{\partial D} а (х) у (х) г S,

$\frac{\partial}{\partial t}\int_D u(x)\, dx = \int_{\partial D} a(x)u(x) dS,$

$D$

Якщо наша дискретизація має форму

у_{т} (х_{j}) = \frac{1}{год} (а (х_{j - \frac{1}{2}}) у_{j - \frac{1}{2}} - а (х_{j + \frac{1}{2}}) у_{j + \frac{1}{2}})

$u_t(x_j) = \frac{1}{h}\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right)$

$x_1,\ldots, x_n$ $D = [c,d]$ $c = x_{\frac{1}{2}}$ $d = x_{n+\frac{1}{2}}$

\frac{1}{год} \sum_{j = 1}^{н} (а (х_{j - \frac{1}{2}}) у_{j - \frac{1}{2}} - а (х_{j + \frac{1}{2}}) у_{j + \frac{1}{2}}) = а (х_{\frac{1}{2}}) у_{\frac{1}{2}} - а (х_{н + \frac{1}{2}}) у_{н + \frac{1}{2}},

$\frac{1}{h}\sum_{j=1}^n\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right) = a(x_{\frac{1}{2}})u_{\frac{1}{2}} - a(x_{n+\frac{1}{2}})u_{n+\frac{1}{2}},$

$u_{j-\frac{1}{2}} = u_{j-1}$ $u_{j+\frac{1}{2}} = u_j$ $a(x)u$

$a(x)$ $a(x_{j-r}), \ldots, a(x_{j+s})$ $a(x_{j-\frac{1}{2}})$

— Бен
джерело