Яка різниця між неявним FEM і явним FEM?

10

Яка різниця між явним FEM і неявним FEM саме? Згідно з публікацією тут , схоже, що різниця полягає лише в тому, чи використовується неявна або явна інтеграція часу.

Як я пам’ятаю з однієї книги, яку я читав, неявна FEM - це те, де маса не збивається до вузлів.

Які точні визначення явного та неявного ФЕМ?

finite-element implicit-methods explicit-methods

— Фей Чжу
джерело

7

Метод FEM для перехідних задач зазвичай використовує метод рядків, тобто просторова дискретизація відокремлена від дискретизації часу: де - вектор вузлових величин, прийнятих як невідомі функції часу. Згідно з цим припущенням, просторово-часові PDE в зводяться (дискретизуються) до ODE лише в використовуючи звичайні механізми FEM для статичних задач.

u^{h} (x, t) = Φ (x)^{T} U (t)

$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$

U (t)

$\mathbf{U}(t)$

(x, t)

$(x,t)$

t

$t$

Як уже вказувалося в інших відповідях, ми говоримо про явну або неявну FEM з посиланням на схему інтеграції часу цих ОДЕ.

Посилаючись на проблеми механіки континууму (без демпфування), ми закінчуємо системою ODE на зразок де і - внутрішні та зовнішні вузлові еквівалентні сили. Для лінійних задач .

M \ddot{U} (t) + F_{i} (U (t)) = F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i}

$\mathbf{F}_\text{i}$

F_{e}

$\mathbf{F}_\text{e}$

F_{i} (t) = K U (t)

$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

Загрожуючи надмірним спрощенням, припустимо, що в явній схемі вам просто потрібно вирішити для що є тривіально, якщо матриця маси згущена. Навпаки, в неявних методах вам потрібно вирішити (не) -лінійні рівняння . $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

M \ddot{U} (t) = - F_{i} (U (t)) + F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i} (U (t)) = b

$\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

Щоб повністю відповісти на ваше запитання: явне / неявне посилається на рішення системи ODE, а не на природу масової матриці. Звичайно, кожна розумна реалізація явної схеми вимагає збиття матриці мас, інакше переваги методу втрачаються в рішенні для . Навпаки, для неявних схем ви можете мати як згущені, так і послідовні масові матриці. $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

— Стефано М
джерело

7

Так, це час інтеграції, але це також означає, що:

Ви повинні вирішити лінійну систему типу Ax = b в неявній схемі, де, як і в явній схемі, ви цього не робите, оскільки матриця згубленої маси має лише діагональні записи, тому inv (M) є тривіальним.
Ваш крок часу в чіткій схемі обмежений критеріями стабільності CFL. Неявні схеми безумовно стійкі (хоча на практиці все ще потрібен розумний крок часу для точності)

Зазвичай проблеми, де важливі інерціальні ефекти (наприклад, поширення хвилі), вирішуються чіткими схемами, де як квазістатичні задачі зазвичай використовують неявну схему. Однак є винятки.

— stali
джерело

У неявних схемах виникають не тільки лінійні системи рівнянь, але (наприклад, при моделюванні рідини) трапляються нелінійні системи рівнянь.

— Нещастя

5

Терміни "явний" і "неявний" виникають у часовій дискретизації, і ці терміни вже використовуються в літературі щодо звичайних диференціальних рівнянь (тобто вони не характерні для методу кінцевих елементів). Варто було б поглянути на книгу, яка обговорює числове рішення ОРЕ, наприклад, Hairer & Wanner.

— Вольфганг Бангерт
джерело