Яка мета використання інтеграції частинами для виведення слабкої форми для дискретизації FEM?

24

Переходячи від сильної форми PDE до форми FEM, здається, завжди слід робити це, спочатку зазначивши варіаційну форму. Для цього ви помножите сильну форму на елемент у якомусь (Соболєві) просторі та інтегруєтесь у своєму регіоні. Це я можу прийняти. Що я не розумію, це те, чому також доводиться використовувати формулу Гріна (один чи кілька разів).

Я здебільшого працював з рівнянням Пуассона, тому якщо взяти це (за однорідних граничних умов Діріхле) як приклад, тобто

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

то стверджується, що правильним способом формування варіативної форми є

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla у \cdot \nabla v г \vec{х} - \int_{\partial Ω} \vec{н} \cdot \nabla у v г \vec{с} \\ = \int_{Ω} \nabla у \cdot \nabla v г \vec{х} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

Але що заважає мені використовувати вираз у першому рядку, чи не це також варіаційна форма, яка може бути використана для отримання форми FEM? Чи не відповідає білінеарній та лінійній формам та ? Чи є тут проблема в тому, що якщо я буду використовувати лінійні базисні функції (функції фігури), то я опинюсь у біді, тому що моя матриця жорсткості буде нульовою матрицею (не зворотною)? Але що робити, якщо я використовую функції нелінійної форми? Чи все-таки мені потрібно використовувати формулу Гріна? Якщо мені не потрібно: це доцільно? Якщо я цього не роблю, чи маю я тоді варіаційну, але не слабку формулювання? $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ $l(v)=(f, v)$

Тепер скажімо, що у мене є PDE з похідними вищого порядку, чи це означає, що існує багато можливих варіативних форм, залежно від того, як я використовую формулу Гріна? І всі вони призводять до (різного) наближення FEM?

pde finite-element elliptic-pde

— Християнин
джерело

Пов'язано: scicomp.stackexchange.com/questions/667/…

— Пол

18

Коротка відповідь:

Ні, вам не потрібно робити інтеграцію для певних FEM. Але у вашому випадку ви повинні це зробити.

Довга відповідь:

Скажімо, - рішення кінцевих елементів. Якщо ви обрали за основу кусочно-лінійний многочлен, то, якщо взяти на нього ви отримаєте розподіл порядку 1 (подумайте, що беремо похідну від крокової функції Heaviside), а інтеграція помножившись на буде лише має сенс, коли ти сприймаєш це як пару подвійності, а не продукт -inner. Ні нулевої матриці ви не отримаєте, теорема представлення Різза говорить, що в є елемент $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ може характеризувати пару подвійності з допомогою скалярного твори в : Інтегрування частинами елемент за елементами для пролиє світло на цю пару подвійності: для елемент цієї триангуляції $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ $u_h$ $T$ це говорить, що повинні включати межелементних стрибок потоку в його подвійності пари уявлення, зверніть увагуінтегрування на границі кожного елемента також подвійність пара між і . Навіть якщо ви використовуєте квадратичну основу, яка має не зникаючий на кожному елементі, ви все одно не можете записати як внутрішній добуток через наявність цього міжелементного стрибка потоку. $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ $\Delta$ $(\Delta u, v)$
Інтеграцію за частинами можна простежити до теорії Соболєва для еліптичного pde за допомогою гладкої функції, де -простори - це все закриття гладких функцій за типу інтегральної норми. Тоді люди кажуть, яка мінімальна закономірність тут, щоб ми могли виконувати внутрішній продукт. Крім того, беручи до уваги , що -Регулярно слабкий розчин при певних умовах є -сильно рішення (еліптична регулярність). Але кусочно неперервний лінійний многочлен не , з цієї точки зору, немає сенсу брати внутрішній добуток за допомогою $W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ також. $\Delta u_h$
Для певних FEM, вам не потрібно робити інтеграцію по частинах. Наприклад, кінцевий елемент з найменшим квадратом. Запишіть pde другого порядку як систему першого порядку: Тоді ви хочете мінімізувати функціонал з найменшим квадратом:
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$ несучи один і той же дух з функціоналом Рітца-Галеркіна, формулювання кінцевих елементів мінімізації вищевказаного функціоналу в просторі кінцевих елементів не потребує інтеграції частинами.

— Шухао Цао
джерело

17

$H^2$ $H^2$

— Рід.Атчесон
джерело

1

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

1

Те, що ви говорите, по суті правильно. Що стосується PDE, що перевищує другий порядок, то вам не обов’язково використовувати пробіли вищої регулярності, оскільки записування змішаної рецептури (див. Відповідь Шухао) може допомогти. Ви також можете використовувати інші методи, такі як пеналізація стрибків, щоб уникнути цих труднощів. Для класичної відповіді FEM, так, так, вам знадобиться більш висока регулярність.

— Рейд.Атчесон

2

Дозвольте наголосити на важливості симетрії. Якщо диференціальний оператор самостійно суміжний, я очікую, що в кінцевому підсумку буде симетрична матриця. Без інтеграції по частинах цього не буде.

— Стефано М

1

Моя основна думка, якщо я додав це, - чи є сильні теоретичні переваги симетрії (окрім легших доказів фактів, які, ймовірно, все ще є в еліптичному випадку, навіть якщо дискретизація несиметрична)?

— Рейд.Атчесон

15

Відмінні відповіді вже на цій сторінці, але все ж є (невеликий) пункт пропуску.

ОП запитала:

Тепер скажімо, що у мене є PDE з похідними вищого порядку, чи це означає, що існує багато можливих варіативних форм, залежно від того, як я використовую формулу Гріна? І всі вони призводять до (різного) наближення FEM?

Інтеграція за частинами ( правильним способом) важлива, коли у вас є граничні умови типу Неймана. Насправді саме завдяки ibp ви враховуєте Necann bc у своїй варіаційній рецептурі. Форма Necann bc залежить від того, як ви інтегруєтесь по частинах, пор. ця відповідь на інтеграцію частин у лінійну пружність. Отже, навіть для еліптичних PDE другого порядку інтеграція за частинами повинна здійснюватися заданим чином, щоб відновити варіаційну рецептуру, дійсну для Неймана або змішаних граничних умов. (І це, звичайно, незалежно від того, що ви дискретизуєте FEM).

У математичній фізиці, де Necann bc має чітко визначене значення (тепловий потік, напруга ...), інтеграція частинами важлива для підтримки правильної інтерпретації результатів. Навіть для однорідних умов Діріхле і FEM це правда, оскільки якщо ми використовуємо метод множника Лагранжа для накладення Bc, множники стають фізичними величинами, як концентровані потоки або сили.

— Стефано М
джерело