Чи можливо вирішити нелінійні PDE без використання ітерації Ньютона-Рафсона?

Я намагаюся зрозуміти деякі результати і буду вдячний за загальні коментарі щодо вирішення нелінійних проблем.

Рівняння Фішера (PDE нелінійної реакції-дифузії),

u_{t} = d u_{x x} + β u (1 - u) = F (u)

$u_t = du_{xx} + \beta u (1 - u) = F(u)$

у дискретній формі,

u_{j}^{'} = L u + β u_{j} (1 - u_{j}) = F (u)

$u_j^{\prime} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{u} + \beta u_j (1 - u_j) = F(\boldsymbol{u})$

де - диференціальний оператор, а - трафарет дискретизації. $\boldsymbol{L}$ $\boldsymbol{u}=(u_{j-1}, u_j, u_{j+1})$

Метод

Я хочу застосувати неявну схему, оскільки мені потрібна стабільність і необмежений крок часу. Для цього я використовую -метод, (зауважте, що дає повністю неявну схему, а дає трапеційну або схему "Crank-Nicolson"), $\theta$ $\theta=1$ $\theta=0.5$

u_{j}^{'} = θ F (u^{n + 1}) + (1 - θ) F (u^{n})

$u_{j}^{\prime} = \theta F(\boldsymbol{u}^{n+1}) + (1-\theta) F(\boldsymbol{u}^{n})$

Однак для нелінійних задач цього зробити не можна, оскільки рівняння не можна записати в лінійній формі.

Щоб подолати цю проблему, я досліджував два числові підходи,

Метод IMEX

$u_{j}^{'} = \underset{θ - method diffusion term}{\underset{⏟}{θ L u^{n + 1} + (1 - θ) L u^{n}}} + \underset{Fully explicit reaction term}{\underset{⏟}{β u_{j}^{n} (1 - u_{j}^{n})}}$ $u_j^{\prime} = \underbrace{\theta\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n+1}} + (1-\theta)\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n}}}_{\theta-\text{method diffusion term}} + \underbrace{\beta u_j^{n} (1 - u_j^{n})}_{\text{Fully explicit reaction term}}$
Найбільш очевидний шлях - ігнорувати нелінійну частину терміну реакції та просто оновити термін реакції з найкращим можливим значенням, тобто тим, що було попереднім кроком часу. Це призводить до отримання методу IMEX.
Ньютон сольвер

ν^{k + 1} = ν^{k} - (I - θ τ A^{n})^{- 1} (ν^{k} - u_{n} - (1 - θ) τ F (w^{n}) - θ τ F (w^{n + 1}))

$\nu^{k+1} = \nu^{k} - (I - \theta\tau A^{n})^{-1} \left( \nu^{k} - u_{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) \right)$

Повне -методне рівняння можна вирішити за допомогою ітерації Ньютона-Рафсона для пошуку майбутньої змінної рішення. Де - індекс ітерації ( ), а - матриця якобіана . Тут я використовую символи для змінних ітерацій, таких, що вони відрізняються від рішення рівняння в точці реального часу . Це насправді модифікований розв’язувач Ньютона, оскільки якобіан не оновлюється з кожною ітерацією. $\theta$ $k$ $k\geq0$ $A^{n}$ $F(w^n)$ $\nu^{k}$ $u^n$

Результати

Порівняння рівняння Фішера чисельними методами.

Наведені вище результати обчислюються для досить великого кроку часу, і вони показують різницю між підходом часу та повним рішенням ітерації Ньютона.

Те, що я не розумію:

Я здивований, що метод, який займає час, робить «добре», але з часом він відстає від аналітичного рішення. ( Зауважте, якби я обрав менший часовий крок, то підхід, що крокує за часом, дає результати, закриті для аналітичної моделі). Чому підхід із кроком у часі дає розумні результати нелінійному рівнянню?
Модель Ньютона робить набагато краще, але починає лідирувати аналітичну модель з часом. Чому точність підходу Ньютона з часом зменшується? Чи можна підвищити точність?
Чому існує загальна особливість, що після багатьох ітерацій числова модель і аналітична модель починають розходитися? Це лише тому, що крок часу занадто великий, чи це завжди відбуватиметься?

— boyfarrell
джерело

Я рекомендую ознайомитися з базовим аналізом помилок вирішувачів ODE, наприклад, у Hairer / Nørsett / Wanner, а також деякі аналізи стабільності. Тоді відповість на більшість ваших запитань.

— Гвідо Канщат

@boyfarrell, щоб уникнути плутанини колег з читачами, слід покласти термінологію правильно там, де пояснюється ваш метод: 1. IMEX - явна в нелінійності та неявна в лінійній частині. 2. це стандарт -sheme, який зазвичай потребує методу Ньютона для вирішення оновлення

θ

$\theta$

— січня

Привіт @Jan Я думаю, я все отримав. Ще раз дякую за вашу допомогу.

— boyfarrell

Відповіді:

{\dot{u}}_{h} (t) = F_{h} (t, u_{h} (t)), on [0,T], u_{h} (0) = α .

$\dot u_h(t) = F_h(t,u_h(t)), \text{ on [0,T] }, u_h(0) = \alpha.$

Φ

$\Phi$

u_{h}^{n}

$u_h^n$

t = t^{n}

$t=t^n$

u_{h}^{n + 1}

$u_h^{n+1}$

t = t^{n + 1} := t^{n} + τ

$t=t^{n+1}:=t^n+\tau$

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ_{e} (t^{n}, τ, u_{h}^{n}),

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_e(t^n,\tau,u_h^n),\quad \quad \quad$

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ_{i} (t^{n}, τ, u_{h}^{n + 1}, u_{h}^{n}), (*)

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_i(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n), \quad \quad \quad (*)$

або комбінацію обох (" IMEX ", див. відповідь @Jed Brown) одноетапні схеми крокового часу.

$u_h^{n+1}$ $(*)$

І мої відповіді ґрунтуються на результатах чисельного аналізу одноетапних методів.

$F_h$
Ви можете знайти приклади, коли явні схеми працюють краще. (Теоретично ви можете змінити час у вашому прикладі, починаючи з термінального значення і знаходити неявні та явні взаємозамінні.) Якщо ви зробите помилку Ньютона достатньо малою, ви все одно можете підвищити точність, зменшивши крок часу або використовуючи час -схеми вищого порядку.
$C$ $err \approx C \tau^p$ $p>0$ $\tau$

Ще кілька зауважень та остаточна відповідь:

Схеми IMEX можуть використовуватися для обробки лише лінійної частини неявно, що дозволяє уникнути нелінійних рішень. Дивіться відповідь Джеда Брауна.
Crank-Nicolson - це одноетапний метод. Метод "кілька" у багатоетапних методах означає використання ряду попередніх часових кроків для визначення поточного оновлення. Наприклад, як $u_{h}^{n + 1} = Φ_{m} (t^{n}, τ, u_{h}^{n + 1}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n - 1}) .$ $u_h^{n+1} = \Phi_m(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n,u_h^{n-1}).$

$(*)$

— Січ
джерело

Так, я застосував стандартний трафарет центральної різниці до терміну дифузії. Я не можу використовувати чітку схему (для реальної проблеми, яку я хочу вирішити), оскільки стабільний крок часу нереально малий. Ось чому я досліджую IMEX або неявні варіанти. Щодо вашого третього пункту, щоб уникнути накопичення помилок, я повинен використовувати багатоступеневі методи. Чи класифікована вище схема (Crank-Nicolson), яку я використовував (з розв'язувачем Ньютона), класифікується як багатоступеневий метод (він має два моменти часу)? Я був здивований, що помилка зростала з часом при використанні методу розв’язання Ньютона.

— boyfarrell

Crank-Nicolson - це ступінчастий метод, оскільки він пише як

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ (t^{n}, τ^{n}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n + 1})

$u_h^{n+1}=u_h^n + \Phi(t^n,\tau^n,u_h^n,u_h^{n+1})$

ОК, дякую за пояснення щодо методу CN. Так, цікаво, чому, схоже, багатоступеневі методи мають менший накопичення помилок. Причиною того, що у вирішувача Ньютона є помилка накопичення, є те, що це метод єдиного кроку, я зараз розумію. До речі, я знаю, що тобі подобається Python. Я все це робив, використовуючи scipy, numpy та matplotlib, gist.github.com/danieljfarrell/6353776

— boyfarrell

Я видалив посилання на статтю Trefethen et. ін. про високу замовлення інтеграції IMEX з моєї відповіді, оскільки є кращі посилання, щоб дізнатися про схеми IMEX.

— січня

Коротка відповідь

Якщо ви хочете лише точності другого порядку і не маєте вбудованої оцінки помилок, цілком ймовірно, що ви будете щасливі з розщепленням Странга: півкроковий етап реакції, повний крок дифузії, півкроковий етап реакції.

Довга відповідь

Дифузія реакцій, навіть при лінійній реакції, відома тим, що демонструє помилку розщеплення. Дійсно, це може бути набагато гірше, включаючи "конвергенцію" до неправильних стаціонарних станів, помилкове стаціонарне стан для граничних циклів, плутають стабільну та нестабільну конфігурацію тощо. Див. Ропп, Шадід, Обер (2004) та Нолл, Чакон, Марголін та Муссо (2003) для вивчення обчислювальної фізики щодо цього. Для аналізу математика з точки зору умов замовлення див. Книгу Хайрера та Ваннера про жорсткі ODE (методи Розенброк-W - лінійно неявний метод IMEX), Кеннеді та Карпентер (2003) щодо нелінійно-неявних IMEX "добавок" Рунге-Кутта, та на сторінці Еміля Константинеску про новітні методи IMEX.

Взагалі методи IMEX мають більше умов замовлення, ніж основні неявні та явні методи. Пари методів IMEX можуть бути спроектовані з бажаною лінійною та нелінійною стійкістю і таким чином, щоб вони відповідали всім умовам порядку до проектного порядку методу. Виконання всіх умов замовлення дозволить зберегти асимптотичну помилку розщеплення тієї ж шкали, що і помилка в кожній схемі окремо. Це нічого не говорить про доасимптотичний режим (великі часові кроки / низька вимога точності), але він рідко є більш суворим, ніж роздільна здатність кожної частини окремо. У будь-якому випадку помилка розбиття видно вбудованому оцінювачу помилок (при використанні адаптивного управління помилками).

У PETSc є багато методів IMEX родин Rosenbrock -W та добавок Runge-Kutta , а в наступному випуску буде екстраполяція та лінійний багатоступінковий IMEX.

Відмова: Я написав значну частину підтримки інтеграції PETSc та співпрацюю з Емілем (пов'язаний вище).

— Джед Браун
джерело

Я, безумовно, підходжу до цього з точки зору фізики, тому всі технічні деталі потребують певного часу, тому що я не знайомий з багатьма термінами. Я насправді експерименталіст! Ви б пояснили трохи більше про умови замовлення? IMEX - це багатоступеневі методи, згадані Яном?

— boyfarrell

Умови замовлення - це співвідношення між коефіцієнтами методів ODE (наприклад, записи в таблиці Butcher для методів Runge-Kutta), які повинні бути задоволені, щоб мати порядок точності. Умови замовлення обговорюються в будь-якій книзі або статті, що розробляє методи інтеграції ODE, але в основному це означає багаторазове застосування похідних та відповідність термінів при розширенні Тейлора. Кількість умов замовлення швидко зростає для методів високого замовлення, тому важко розробити методи високого замовлення. Бар'єри встановлюються, показуючи, що умови замовлення взаємно несумісні.

— Джед Браун