Визначення жорсткої системи ODE

Розглянемо IVP для системи ODE $y'=f(x,y)$ , . Найчастіше ця проблема вважається жорсткою, коли матриця Якобі має як власні значення з дуже великою негативною реальною частиною, так і власні значення з дуже малою негативною реальною частиною (я вважаю лише стабільну випадок).$y(x_0)=y_0$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$

З іншого боку, у випадку лише одного рівняння, наприклад рівняння Протеро-Робінсона , воно називається жорстким, коли .λ ≪ - $y'=\lambda y + g'+\lambda g$$\lambda\ll -1$

Отже, є два питання:

1. Чому малі власні значення включаються у визначення жорсткості для систем ODE? Я вважаю, що наявності лише дуже великих негативних реальних частин цілком достатньо для жорсткості системи, оскільки це змушує нас використовувати малі часові кроки для явних методів.

2. Так, я знаю, що найпоширеніші жорсткі проблеми (наприклад, що виникають внаслідок параболічних PDE) мають як великі, так і малі власні значення. Отже, друге питання: чи є хороший природний приклад великої жорсткої системи без дуже малих власних значень (або, як варіант, з м'яким співвідношенням )?$\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$

Гаразд, давайте змінимо питання. Розглянемо дві двовимірні лінійні системи ODE: перша з власними значеннями {-1000000, -0.00000001} і друга з {-1000000, -999999}. Щодо мене, обидва вони жорсткі. Але якщо ми розглянемо визначення коефіцієнта жорсткості, друга система не є. Основне питання: чому взагалі вважається коефіцієнт жорсткості?

А друга частина питання все ще важлива, перефразовуючи це: я шукаю "природну" велику систему ОРЕ з великими негативними власними значеннями та м'яким коефіцієнтом жорсткості (не більша, скажімо, 100).

Жорсткість передбачає деяке розділення лусочок. Взагалі, якщо вас цікавить фаза найшвидшого режиму в системі, тоді вам доведеться її вирішити, і система не є жорсткою. Але часто вас цікавить довгострокова динаміка «повільного колектора», а не точна швидкість, з якою наближається рішення від повільного колектора.

Хімічні реакції та реагуючі потоки є загальними прикладами жорстких систем. Ван - дер - Поля є спільною проблемою еталоном для ОДУ інтеграторами , який має регульований жорсткість У параметрі.

Океан - ще один приклад, який може бути корисним для візуалізації. Цунамі (поверхневі гравітаційні хвилі) подорожують зі швидкістю літака і створюють складну хвильову структуру, але розсіюються протягом тривалих масштабів часу і в основному не впливають на довгострокову динаміку океану. Едді або інша сторона рухається приблизно в 100 разів повільніше з досить пішохідною швидкістю, але викликає змішування та температуру транспортування, засолення та біогеохімічні відстежувачі, які є актуальними. Але та сама фізика, яка поширює поверхневу гравітаційну хвилю, також підтримує вихрі (квазірівноважна структура), тому швидкість вихру, шлях під Коріолісом та швидкість розсіювання залежать від швидкості гравітаційної хвилі. Це дає можливість схемі інтеграції часу, розробленій для жорстких систем, переходити часовий масштаб гравітаційної хвилі і тільки вирішувати відповідні динамічні масштаби часу. ПобачитиМуссо, Нолл та Рейснер (2002) для обговорення цієї проблеми з порівнянням схем розщеплення та повністю неявних часових інтеграцій.

Пов’язано: Коли слід використовувати неявні методи інтеграції гіперболічних ФДЕ?

Зауважимо, що дифузійні процеси зазвичай вважаються жорсткими, оскільки найшвидший масштаб часу в дискретній системі залежить від сітки, масштабуючи з , але масштаб часу відповідної фізики не залежить від сітки. Насправді, найбільш швидкі масштаби часу для даної сітки представляють просторово локальне розслаблення до повільнішого колектора, на якому розвиваються довші просторові шкали, тому неявні методи можуть бути дуже точними навіть у сильних нормах, незважаючи на те, що не вирішуються найбільш швидкі шкали.$(\Delta x)^2$

Частина 1

Невеликі власні значення не включаються до визначення жорсткості для систем ODE (початкове значення). Я не знаю задоволеного визначення жорсткості, але найкращі визначення, які я натрапив, це:

Якщо числовий метод з кінцевою областю абсолютної стійкості, застосований до системи з будь-якими початковими умовами, змушений використовувати в певному інтервалі інтеграції довжину кроку, яка є надмірно малою щодо гладкості точного рішення в цьому інтервалі , тоді, як кажуть, система в цьому інтервалі жорстка. (Lambert, JD (1992), Числові методи для звичайних диференціальних систем , Нью-Йорк: Wiley.)

$[0,b]$

Рівняння жорсткості - це рівняння, де деякі неявні методи, зокрема BDF, працюють краще, як правило, надзвичайно краще, ніж явні. (CF Curtiss & JO Hirschfelder (1952): Інтеграція рівнянь жорсткості. PNAS, т. 38, стор. 235-243)

Стаття Вікіпедії про жорсткі рівняння продовжує приписувати Ламберту такі "твердження":

1. Система лінійних постійних коефіцієнтів є жорсткою, якщо всі її власні значення мають від'ємну дійсну частину, а коефіцієнт жорсткості великий.

2. Жорсткість виникає тоді, коли вимоги до стійкості, а не точності, обмежують довжину кроку. [Зауважте, що це "спостереження" є по суті визначенням Ашера та Петцольда.]

3. Жорсткість виникає, коли деякі компоненти розчину розпадаються набагато швидше, ніж інші.

Кожне з цих спостережень має контрприклади (хоча, правда, я не міг створити жодного з верхівки голови).

Частина 2

Мабуть, найкращим прикладом, який я міг би придумати, було б інтегрування будь-якої великої системи реакцій горіння в хімічну кінетику за умов, що призводять до займання. Система рівнянь буде жорсткою до запалювання, і тоді вона більше не буде жорсткою, оскільки система пройшла початковий перехідний час. Співвідношення найбільшого до найменшого власного значення не повинно бути великим, за винятком випадків займання, хоча такі системи, як правило, бентежать жорсткі інтегратори, якщо не встановити надзвичайно суворі допуски до інтеграції.

У книзі Хайрера і Ваннера в своєму першому розділі (ряд IV частини, розділ 1) наведено ще кілька прикладів, які ілюструють багато інших прикладів жорстких рівнянь. (Ваннер, Г., Хайер, Е., Розв’язування звичайних диференціальних рівнянь II: Стиглі та диференціально-алгебраїчні задачі (2002), Спрінгер.)

Нарешті, варто вказати на спостереження CW Gear:

Незважаючи на те, що є загальним говорити про «жорсткі диференціальні рівняння,» рівняння самі по собі не є жорстким, конкретним завданням Коші для цього рівняння може бути жорсткими, в деяких регіонах, але розміри цих областей залежать від початкових значень і допущення помилок. (CW Gear (1982): Автоматичне виявлення та лікування коливальних та / або жорстких звичайних диференціальних рівнянь. В: Числова інтеграція диференціальних рівнянь, Лекційні записки в Математиці, т. 968, с. 190-206.)

Насправді Джед Браун очистив питання для мене. Те, що я зараз роблю, - це просто викласти його слова в контекст.

1. Обидві 2-лінійні системи ODE зверху жорсткі (тобто важко вирішити з явними методами) на відносно великих інтервалах часу (наприклад, [0,1]).

2. Лінійні системи з великим коефіцієнтом жорсткості можна вважати "більш жорсткими", оскільки, швидше за все, потрібно інтегрувати їх на великому часовому інтервалі. Це пов’язано з повільними компонентами, що відповідають найменшим власним значенням: розчин повільно тягнеться до стаціонарного стану, і цього стійкого стану зазвичай важливо досягти.

3. З іншого боку, інтеграція систем з малим коефіцієнтом жорсткості на великих інтервалах не представляє інтересу: у цьому випадку стаціонарний стан досягається дуже швидко, і ми можемо його просто екстраполювати.

Дякую всім за цю дискусію!

Абсолютна величина власних значень (у лінійній, автономній задачі) сама по собі взагалі не має значення; це артефакт одиниць, які ви вирішили висловити проблему.

Ланцюжок коментарів виходить з-під контролю, тому я роблю це на відповідь. Я не збираюся відповідати на повне запитання; як я вже говорив, дивіться вікіпедію чи інші відповіді тут. Я просто відповідаю на біт, який говорить

Розглянемо дві двовимірні лінійні системи ODE: перша з власними значеннями {-1000000, -0.00000001} і друга з {-1000000, -999999}. Щодо мене, обидва вони жорсткі. Але якщо ми розглянемо визначення коефіцієнта жорсткості, друга система не є. Основне питання: чому взагалі вважається коефіцієнт жорсткості?

Гаразд, розглянемо приклад другого випадку:

$t^* = 1000000\cdot t$

Примітка 1: Я вибрав діагональну систему, щоб зробити її абсолютно очевидною, але якщо ви спробуєте її з іншою системою з тими власними значеннями, ви побачите той самий ефект, оскільки множення матриці на константу множить її власні значення на ту саму постійну.

$|\lambda|\gg1$