Обчислюючи злегка коливальні серії з високою точністю?

Припустимо, у мене є така цікава функція: Він має деякі неприємні властивості, як-от його похідна не є безперервною при раціональних кратних. Я підозрюю, що закритої форми не існує.

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$

π

$\pi$

Я можу обчислити це, обчисливши часткові суми та використовуючи екстраполяцію Річардсона, але проблема полягає в тому, що занадто повільно обчислювати функцію на великій кількості десяткових цифр (наприклад, 100 було б непогано).

Чи існує метод, який краще впорається з цією функцією?

Ось сюжет з деякими артефактами: $f'(\pi x)$

$Похідна функції, $ f '(\ pi x) $$

convergence extrapolation

— Кирило
джерело

Можливо, ви можете використати той факт, що

, де

- многочлен Чебишева. Тоді підсумовування починає виглядати як ряд раціональних многочленів. Тоді, якщо ви зможете перетворити ряд на раціональний многочлен на основі Чебишева, це дозволить дуже ефективно підсумувати його. Якщо ви не знайомі з поліномами Чебішева та основою, Числові рецепти на С мають хороший буквар, як і цей: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

— Джей Леммон

е, це слід сказати

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

— Jay Lemmon

@JayLemmon Дякую за це посилання Подивлюсь і побачу, чи допомагає це.

— Кирило

Я приєднуюся до цієї партії трохи пізно, але ви спробували використовувати наближення Паде, тобто

-Альгоритм замість екстраполяції Річардсона?

ε

$\varepsilon$

— Педро

За аналогією із сильно коливальними інтегралами, я не думаю, що вам вдасться зробити гарну роботу без певних знань про поділ між коливальною та неосциліруючою частинами. Якщо у вас таке розмежування, відповідь серії Фур'є дає просте експоненціальне зближення.

— Джеффрі Ірвінг

Відповіді:

Якщо аналітичні методи заборонені, але періодична структура відома, ось один підхід. Нехай

g (x) = \frac{\cos x}{2 - \cos x}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (x) = \sum_{j} w_{j} e^{i j x}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (x) e^{- i j x} d x

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{g (k x)}{k^{p}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{p}} \sum_{j} w_{j} e^{i j k x} \\ = \sum_{j} w_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{(e^{i j x})}^{k}}{k^{p}} \\ = \sum_{j} w_{j} {Li}_{p} (e^{i j x}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

— Джеффрі Ірвінг
джерело

g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

$x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ Значення та похідні для серії

— Джеффрі Ірвінг
джерело

Дякую. Проблема полягає в тому, що я вибрав цю конкретну функцію як модель для іншої більш складної функції, яку я насправді хотів оцінити, маючи подібні особливості, але насправді не однакові. Мені відомо про закриту форму з цього питання про MSE . Я мав на увазі це як питання про підсумовування нескінченного ряду числовим числом без закритої форми.

— Кирило

Може, моя інша відповідь тоді краща?

— Джеффрі Ірвінг

Як щодо перетворення Левіна ? Крім кодів Fortan, у GSL є кілька версій : `gsl_sum_levin_u * ' . MuPAD і Maple Matlab використовують цю схему.

— конник
джерело

Я спробував це, але виявив, що екстраполяція Річардсона є більш точною.

— Кирило