Запитання про коваріаційну матрицю з 2 просторових сигналів

Кожен раз, коли я думаю, що я зрозумів матрицю коваріації, хтось інший приходить з іншою формулюванням.

Зараз я читаю цей документ:

Дж. Бенесті, "Адаптивний алгоритм розкладання власного значення для пасивної локалізації акустичного джерела" , Дж. Акуст. Соц. Am. Том 107 , випуск 1, стор 384-391 (2000)

і я натрапив на формулювання, яке я не зовсім розумію. Тут автор будує матрицю коваріації між двома сигналами та . Ці два сигнали від різних датчиків.$x_1$$x_2$

Для матриці коваріації одного сигналу я знаю, що ми можемо отримати її, обчисливши матрицю регресії, а потім помножимо її на ерміціана тієї ж матриці та ділимо на на довжину вихідного вектора. Розмір матриці коваріації тут може бути довільним, з максимальним розміром будучи .$N$$N\times N$

Для матриці коваріації двох просторових сигналів, якщо перший сигнал розмістимо в першому ряду, а другий сигнал у другому ряду матриці, то помножимо на його ерміціан, а також ділимо на , то отримаємо матриця коваріації обох просторових сигналів.$N$$2\times 2$

Однак у цій роботі автор обчислює те, що схоже на чотири матриці, та , а потім ставить їх у супер матрицю і називає матрицю коваріації .$R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$$R_2{}_2$

Чому це так? Ось зображення тексту:

Якщо у вас є два вектори сигналу і кожен з елементів, то ми можемо розглянути дві різні речі.$x_1[n]$$x_2[n]$$N$

1. Як співставляють величини ? Зокрема, коли сигнали шуміть і шуми можна вважати спільно нерухомими (або спільно широкочутливими стаціонарними), ці величини можуть бути використані для оцінки дисперсій шуму в двох сигналах, а також коваріації шумів при будь-який фіксований час вибірки. Це ви отримуєте з коваріаційної матриці Шум у має дисперсію яка може відрізнятися від$\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$$2\times 2$

   $$R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$$ $x_1[n]$$\sigma_1^2 = R_{1,1}$$R_{2,2} = \sigma_2^2$ , дисперсія шуму в . Але шуми корелює з ковариационной . Тепер, якщо ми плануємо робити щось із того, що відбувається в , ігноруючи все, що може статися в або тощо, то це вся інформація, яка нам потрібна.$x_2[n]$$R_{1.2}=R_{2,1} = C$$n$$n-1$$n+1$

2. Якщо шум, як відомо, являє собою (або вважається, що це білий шум), так що зразки шуму від різних одиниць вибірки є незалежними (і, отже, некорельованими), або ми просто припускаємо некорельовані зразки шуму, є інформація, яку ми ігноруємо, не враховуючи кореляцію між і , вибірки з одного і того ж процесу в різний час або місцеположення, а також співвідношення між і , вибірки з двох процесів у різний час або місця. Ця додаткова інформація може призвести до кращої оцінки / рішення. Зараз у нас є зразків шуму, а отже,$x_1[n]$$x_1[m]$$x_1[n]$$x_2[m]$$2N$$2N \times 2N$коваріаційна матриця для розгляду. Якщо ми влаштовуємо питання так, як це робили автори, у нас де і так де . Зауважимо, що є, по суті, функцією перехресної кореляції і якщо$R_{\text{full}} = E[XX^T]$

   $$X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$$ $$R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$$(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$$(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$$i \neq j$ та функція автокореляції, якщо . Якщо шумові процеси білі і некорельовані, за винятком випадків, коли , тоді де - матриця ідентичності , а і визначені в пункті 1 вище. Наскільки реалістичною може бути ця модель шуму, це визначає кінцевий користувач. Якщо модель є реалістичним, то нічого не отримав, дивлячись на матриця$i = j$$n = m$ $$R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$$ $I$$N\times N$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$ оскільки вся інформація є у матриці пункту 1 вище. Визначте, якщо модель нереальна, але ми не маємо наміру (або не в змозі) використовувати всю інформацію у повній матриці ; ми будемо робити просто та частини 1, для яких нам не потрібні або , просто .$2\times 2$$R_{2\times 2}$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$R_{\text{full}}$$R_{\text{simple}}$$R_{2\times 2}$