Запитання про коваріаційну матрицю з 2 просторових сигналів


9

Кожен раз, коли я думаю, що я зрозумів матрицю коваріації, хтось інший приходить з іншою формулюванням.

Зараз я читаю цей документ:

Дж. Бенесті, "Адаптивний алгоритм розкладання власного значення для пасивної локалізації акустичного джерела" , Дж. Акуст. Соц. Am. Том 107 , випуск 1, стор 384-391 (2000)

і я натрапив на формулювання, яке я не зовсім розумію. Тут автор будує матрицю коваріації між двома сигналами та . Ці два сигнали від різних датчиків.x1x2

Для матриці коваріації одного сигналу я знаю, що ми можемо отримати її, обчисливши матрицю регресії, а потім помножимо її на ерміціана тієї ж матриці та ділимо на на довжину вихідного вектора. Розмір матриці коваріації тут може бути довільним, з максимальним розміром будучи .NN×N

Для матриці коваріації двох просторових сигналів, якщо перший сигнал розмістимо в першому ряду, а другий сигнал у другому ряду матриці, то помножимо на його ерміціан, а також ділимо на , то отримаємо матриця коваріації обох просторових сигналів.N2×2

Однак у цій роботі автор обчислює те, що схоже на чотири матриці, та , а потім ставить їх у супер матрицю і називає матрицю коваріації .R11,R12,R21R22

Чому це так? Ось зображення тексту:

введіть тут опис зображення

Відповіді:


6

Якщо у вас є два вектори сигналу і кожен з елементів, то ми можемо розглянути дві різні речі.x1[n]x2[n]N

  1. Як співставляють величини ? Зокрема, коли сигнали шуміть і шуми можна вважати спільно нерухомими (або спільно широкочутливими стаціонарними), ці величини можуть бути використані для оцінки дисперсій шуму в двох сигналах, а також коваріації шумів при будь-який фіксований час вибірки. Це ви отримуєте з коваріаційної матриці Шум у має дисперсію яка може відрізнятися відn=1Nxi[n]xj[n], i,j{1,2}2×2

    R2×2=[σ12CCσ22].
    x1[n]σ12=R1,1R2,2=σ22 , дисперсія шуму в . Але шуми корелює з ковариационной . Тепер, якщо ми плануємо робити щось із того, що відбувається в , ігноруючи все, що може статися в або тощо, то це вся інформація, яка нам потрібна.x2[n]R1.2=R2,1=Cnn1n+1
  2. Якщо шум, як відомо, являє собою (або вважається, що це білий шум), так що зразки шуму від різних одиниць вибірки є незалежними (і, отже, некорельованими), або ми просто припускаємо некорельовані зразки шуму, є інформація, яку ми ігноруємо, не враховуючи кореляцію між і , вибірки з одного і того ж процесу в різний час або місцеположення, а також співвідношення між і , вибірки з двох процесів у різний час або місця. Ця додаткова інформація може призвести до кращої оцінки / рішення. Зараз у нас є зразків шуму, а отже,x1[n]x1[m]х1[н]х2[м]2N2N×2Nковаріаційна матриця для розгляду. Якщо ми влаштовуємо питання так, як це робили автори, у нас де і так де . Зауважимо, що є, по суті, функцією перехресної кореляції і якщоRповний=Е[ХХТ]

    Х=(х1[1],х1[2],,х1[N],х2[1],х2[2],,х2[N])Т=(х1,х2)Т
    Rповний=[Rх1,х1Rх1,х2Rх2,х1Rх2,х2]
    Rхi,хj=Е[хiхjТ]Rхi,хj(хi[1],хi[2],,хi[N])(хj[1],хj[2],,хj[N])ij та функція автокореляції, якщо . Якщо шумові процеси білі і некорельовані, за винятком випадків, коли , тоді де - матриця ідентичності , а і визначені в пункті 1 вище. Наскільки реалістичною може бути ця модель шуму, це визначає кінцевий користувач. Якщо модель є реалістичним, то нічого не отримав, дивлячись на матрицяi=jн=м
    RповнийRпростий=[σ12ЯСЯСЯσ22Я]
    ЯN×Nσ12,σ22С2N×2NRповний оскільки вся інформація є у матриці пункту 1 вище. Визначте, якщо модель нереальна, але ми не маємо наміру (або не в змозі) використовувати всю інформацію у повній матриці ; ми будемо робити просто та частини 1, для яких нам не потрібні або , просто .2×2R2×22N×2NRповнийσ12,σ22СRповнийRпростийR2×2

Дякую. По-перше, чи не повинна сигма в (1) говорити від n = 0 до N-1? (Не від i = 1 до n).
Спейсі

Я не впевнений, що все ще розумію, що / чому ми робимо це так. Ви хочете сказати, що для (1), оскільки шуми в обох векторах повністю незалежні один від одного, ми повинні використовувати цей метод, і таким чином отримуємо ко-дисперсію матриці 2x2, але це у другому випадку (2), оскільки шуми у векторах не є незалежними, ми повинні об'єднати обидва вектори, а потім обчислити їх матрицю ко-дисперсії? Чому хоч? Боюся, я все ще не розумію мотивації тут ...
Спейсі

Дякую, я прочитаю його ще раз. Також підпис для сигми повинен бути "n", а не "i".
Спейсі

Я завтра записую ще кілька запитань / коментарів, але поки що, які "офіційні" назви і ? Я не можу уявити, що всі вони називаються "ко-дисперсійними матрицями", оскільки це призводить до плутанини (як це було основною мотивацією для цього питання). Про що вони зазвичай посилаються? R2х2,RповнийRпростий
Спейсі

1) "можна вважати спільно нерухомим (або спільно широким сенсом стаціонарним)" Тут, ви маєте на увазі, якщо і обидва незалежні? 2) "оцініть відхилення шуму в двох сигналах, а також коваріацію шумів у будь-який фіксований час вибірки. Що ви маєте на увазі тут" у будь-який фіксований час вибірки "? Для того, щоб обчислити 2x2, ми використовуємо вибірки часу обох сигналів за весь час ... 3) "Зараз у нас є загальна кількість 2N зразків шуму", я думаю, я не розумію, за яким "правильним" ми можемо просто об'єднати два просторові такі сигнали. Чому нам дозволено це робити? х1х2
Спейсі
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.