Чи є альтернативи білінеарному перетворенню?


26

При розробці цифрового фільтра на основі аналогового фільтра ми зазвичай використовуємо білінеарне перетворення . Для наближення дискретної функції передачі від аналогової (безперервної) функції передачі A ( s ) ми підставляємоDa(z)A(s)

z=1+sT/21sT/2

де - період вибірки. Альтернативно, щоб наблизити функцію безперервного перенесення A a ( s ) від дискретної функції передачі D ( z ), ми підміняємоTAa(s)D(z)

s=2Tz1z+1

Чи існують альтернативні методи здійснення таких перетворень? Чи є кращі наближення?

Відповіді:


16

Аналогові фільтри стабільні, якщо полюси знаходяться в лівій половині площини s (рисунок зліва), а цифрові фільтри стабільні, якщо полюси знаходяться всередині одиничного кола (рисунок справа). Отже, математично все, що потрібно для перетворення з аналогового в цифрове, - це відображення (конформне?) З півпростору на одиничний диск, а вісь в одиничне коло | z | = 1 . Будь-яка трансформація, яка це робить, є можливим кандидатом на альтернативу двосторонньому перетворенню.ȷΩ|z|=1

введіть тут опис зображення

L1Z

a(t)=L1{A(s)}

a(t)Ta[n]

Da(z)=Z{a[n]}

Однак існують ключові відмінності між ними.

Метод імпульсної інваріантності:

У цьому методі ви розширюєте функцію передачі аналога як часткові дроби (а не в зібраному Z перетворенні, як згадував Пітер ) як

A(s)=mCmsαm

Cmαm

Причина, чому вона не вдається, також цілком зрозуміла. Якщо у вас був многочлен у чисельнику того ж ступеня, що і в знаменнику, у вас з'явиться вільний стоячий постійний член, який при оберненому перетворенні дасть дельта-функцію, яку неможливо відібрати у вибірку.

αmeαmT

Відповідне Z-перетворення

βmeβmTαmeαmT

A(s)=m(sβm)n(sαn)m(1z1eβmT)n(1z1eαnT)

Ви можете легко побачити обмеження обох цих методів. Імпульсний інваріант застосований лише в тому випадку, якщо ваш фільтр є низькочастотним і відповідний метод z-перетворення застосовний до смугових фільтрів і смугових фільтрів (і високих частот до частоти Найквіста). Вони також обмежені на практиці частотою вибірки (адже ви можете піднятися лише до певного моменту) і страждаєте від наслідків збитку.

Білінеарне перетворення на сьогоднішній день є найбільш часто використовуваним методом на практиці, і вищевказані два є скоріше для наукових інтересів. Що стосується перетворення назад в аналоговий, пробачте, але я не знаю і не можу бути тут дуже корисною, оскільки я навряд чи використовую аналогові фільтри.


Нічого собі ..... це найкращі пояснення, які я бачив на цю тему. Дуже дякую за обмін. Прекрасна робота.

відповідне перетворення краще для фільтрів Бесселя, оскільки важливою особливістю фільтрів Бесселя є їх затримка з плоскою групою, а не їх частотна характеристика
ендоліт

9

sz

Деякі приклади:

Збірна Z-трансформація

s

Y(s)=a0s+s0+a1s+s1+...

А перетворення кожної частини розширення часткової фракції здійснюється безпосередньо за допомогою:

s+sn=1z1exp(snT)

Правило Сімпсона

Одне трактування білінеарного перетворення полягає в тому, що це спосіб перетворення від безперервного до дискретного часу шляхом наближеної інтеграції за допомогою Трапецієподібного правила .

Більш точна техніка для наближеної інтеграції використовує правило Сімпсона. Якщо використовується це наближення, то отримане відображення:

s=3Tz21z2+4z+1

1
Правило Сімпсона, по суті квадратична інтерполяція (де правило трапеції лінійне)?
Пітер Мортенсен

1
@ Peter Mortensen: Так, дуже!
Пітер К.

Чи відрізняється ваша відповідна трансформація Z від Лорема Іпсума? Я не бачу часткового розкладання фракцій ніде більше.
ендоліт

@endolith див. посилання на вікіпедію у моїй відповіді. От я і взяв його. 😂 Я відповідав перед Лорем, і не редагував цього.
Пітер К.
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.