Чи є альтернативи білінеарному перетворенню?

При розробці цифрового фільтра на основі аналогового фільтра ми зазвичай використовуємо білінеарне перетворення . Для наближення дискретної функції передачі від аналогової (безперервної) функції передачі A ( s ) ми підставляємо$D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

де - період вибірки. Альтернативно, щоб наблизити функцію безперервного перенесення A a ( s ) від дискретної функції передачі D ( z ), ми підміняємо$T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

Чи існують альтернативні методи здійснення таких перетворень? Чи є кращі наближення?

Аналогові фільтри стабільні, якщо полюси знаходяться в лівій половині площини s (рисунок зліва), а цифрові фільтри стабільні, якщо полюси знаходяться всередині одиничного кола (рисунок справа). Отже, математично все, що потрібно для перетворення з аналогового в цифрове, - це відображення (конформне?) З півпростору на одиничний диск, а вісь в одиничне коло | z | = 1 . Будь-яка трансформація, яка це робить, є можливим кандидатом на альтернативу двосторонньому перетворенню.$\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

Однак існують ключові відмінності між ними.

Метод імпульсної інваріантності:

У цьому методі ви розширюєте функцію передачі аналога як часткові дроби (а не в зібраному Z перетворенні, як згадував Пітер ) як

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

$C_m$$\alpha_m$

Причина, чому вона не вдається, також цілком зрозуміла. Якщо у вас був многочлен у чисельнику того ж ступеня, що і в знаменнику, у вас з'явиться вільний стоячий постійний член, який при оберненому перетворенні дасть дельта-функцію, яку неможливо відібрати у вибірку.

$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

Відповідне Z-перетворення

$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

Ви можете легко побачити обмеження обох цих методів. Імпульсний інваріант застосований лише в тому випадку, якщо ваш фільтр є низькочастотним і відповідний метод z-перетворення застосовний до смугових фільтрів і смугових фільтрів (і високих частот до частоти Найквіста). Вони також обмежені на практиці частотою вибірки (адже ви можете піднятися лише до певного моменту) і страждаєте від наслідків збитку.

Білінеарне перетворення на сьогоднішній день є найбільш часто використовуваним методом на практиці, і вищевказані два є скоріше для наукових інтересів. Що стосується перетворення назад в аналоговий, пробачте, але я не знаю і не можу бути тут дуже корисною, оскільки я навряд чи використовую аналогові фільтри.

$s$$z$

Деякі приклади:

Збірна Z-трансформація

$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

А перетворення кожної частини розширення часткової фракції здійснюється безпосередньо за допомогою:

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

Правило Сімпсона

Одне трактування білінеарного перетворення полягає в тому, що це спосіб перетворення від безперервного до дискретного часу шляхом наближеної інтеграції за допомогою Трапецієподібного правила .

Більш точна техніка для наближеної інтеграції використовує правило Сімпсона. Якщо використовується це наближення, то отримане відображення:

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$