Чи є спосіб отримати імпульсну відповідь дискретної системи, просто дізнавшись, що це реакція на крок функції дискретного блоку?

У безперервному часі це було можливо;

$$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$$

Чи застосовується те ж саме для дискретної системи часу, тобто

$$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$$

Чи є спосіб отримати імпульсну відповідь дискретної системи, просто дізнавшись відповідь кроку дискретної одиниці?

Більш простий варіант відповіді Фонона полягає в наступному.

Припустимо, що позначає реакцію системи на функцію одиничного кроку. Тоді, як обговорювалося у цій відповіді , узагалі - сума масштабованих та затримкуваних у часі копій імпульсної відповіді, і в цьому конкретному випадку не потрібно масштабування; лише затримки у часі. Таким чином, де кожен стовпець праворуч - імпульсна реакція із затримкою у часі та без затримки. Таким чином, ми легко отримуємо, що $y$ $y$

$$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$$ $$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$$ з нарією згадка про фільтри, обертання, згортки, інтеграцію, оператори тощо, просто прості наслідки визначення лінійної інваріантної системи часу.

Так, це однаково справедливо і у випадку дискретних систем. Операція диференціювання в цьому випадку замінюється на різницю першого порядку. Не думаю, що він має універсальний символ, але назвемо це . Ця операція еквівалентна фільтруванню вашого сигналу за допомогою . Назвемо цей фільтр . Я позначаю згортання, що символ .$D(\cdot)$$y[n] = x[n] - x[n-1]$$d[n]$$*$

Давайте тепер застосуємо те, що ми знаємо про згортку до цього оператора. Ми знаємо, що отримуємо з поточною сумою (дискретний інтегратор) на . Фактично, система, представлена сама виявляється цим дискретним інтегратором. Також зауважте, що ці два оператори є оберненими один до одного, і що конкретно .$u[n]$$\delta[n]$$u[n]$$u[n] * d[n] = \delta[n]$

Тепер ми знаємо, що згортка є комутативною, тобто

$$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$$

і асоціативний, тобто

$$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$$

Отже,

$$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$$

Отже, ви бачите, що ви можете відновити з , застосувавши різницю першого порядку, як і в безперервному випадку.$x[n]$$\left(u[n] * x[n]\right)$

Припущення:

• Безперервна часова область : Нехай - імпульсна характеристика, а - крокова відповідь$h(t)$$s(t)$
• Дискретна часова область : Нехай - одинична імпульсна відповідь, а - одинична крокова відповідь$h[n]$$s[n]$

Інтуїтивно кажучи, інтеграція в безперервну часову область еквівалентна підсумовуванню в дискретній часовій області. Аналогічно, похідна в безперервній часовій області еквівалентна кінцевій різниці в дискретному домені.

Маючи це інтуїтивне розуміння, розгляньте співвідношення між та (ліва частина другого рівняння у вашому дописі):$u$$\delta$

• Постійна область часу: $u(t) = \int \delta(t)$
• Дискретна часова область: $u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

Аналогічно розглянемо співвідношення між та (права частина другого рівняння у твоєму дописі):$s$$h$

• Постійна область часу: $s(t) = \int h(t)$
• Дискретна часова область: $s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

Тепер, якщо ви уважно подивіться на останнє рівняння:

$$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$$

Тепер можна знайти з цього рівняння, використовуючи кінцеву різницю із запізнілою версією себе, тобто з :$h[n]$$s[n]$$s[n-1]$

$$h[n] = s[n] - s[n-1]$$