Чи є складні експоненціали єдиними власними функціями систем LTI?

12

Чи є приклад власної функції лінійної інваріантної системи часу (LTI), яка не є складною експоненцією? " Ейгенфункції системи LTI" Джастіна Ромберга кажуть, що такі власніфункції існують, але я не в змозі їх знайти.

linear-systems theory eigendecomposition

— Вінод
джерело

9

Всі власні функції системи LTI можна описати через складні експоненти, а складні експоненти складають повну основу сигнального простору. Однак якщо у вас є вироджена система, що означає , що у вас є власні проміжки розміру> 1, то власні вектори до відповідного власного значення - це все лінійне поєднання векторів з підпростори. І лінійні комбінації складних експоненціалів різної частоти вже не є складними експоненціалами.

Дуже простий приклад: Оператор ідентичності 1 як система LTI має весь простір сигналу як власне підпростір із власним значенням 1. Це означає, що ВСІ функції є власними функціями.

— Джазманіак
джерело

1

За винятком нульової функції звичайно :) Просто жартую

— Лоран Дюваль

1

$\operatorname{sinc}$

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— КСВ
джерело

2

Скоріше навпаки: правило полягає в тому, що системи LTI мають вироджені власні простори і, отже, власні вектори, які не є складними експоненціалами. Розглянемо систему з реальним виходом. Тоді , що означає, що якщо справжній і , то у вас вже є двовимірний власний підпростір, а справжній синус є власним вектором. Це означає, що будь-яка система LTI має фазовий відгук, який стає кратним для . Це правило, а не виняток.

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— Jazzmaniac

1

насправді будь-який чистий показник - це власна функція системи LTI. якщо ви не заперечуєте, щоб величини, що швидко наближаються , не мають теоретичної вимоги, щоб експонентність була складною або реальною.

\infty

$\infty$

— Роберт Брістоу-Джонсон

1

я знаю, що я відредагував вашу відповідь (щоб було зрозуміліше і правильніше з семантикою), але ваша відповідь помилкова. є НЕ загальної власної функції до загальної системи LTI. вона є власною функцією конкретного LTIs , які мають , але не для інших.

sinc (т) ≜ \frac{гріх (π т)}{π т}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

— Роберт Брістоу-Джонсон

1

очевидно, "якщо ви не заперечуєте, щоб величини, що швидко наближаються до ∞", це не те саме, що "простір сигналу, який зазвичай вважають ... сфальсифікованим простором Гільберта квадратних інтегруваних функцій". все, що я говорю, що якщо - ваш вхід, то - ваш вихід (де - Лаплас перетворення імпульсного відгуку LTI ). мені схоже на власну функцію. але ти маєш рацію щодо специфікації CSR.

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$

— Роберт Брістоу-Джонсон

1

@ Fat32, вимагаючи добре функціонуючого простору, це не про стабільність і це далеко не зайве або довільне. Більшість корисних результатів в теорії обробки сигналів покладаються на добре сприйняті сигнальні простори. Особливо корисна спектральна теорема ( en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ), і ця теорема вимагає певних функціональних просторів, з яких є можливим вибором. Якщо ви хочете застосувати цю математичну основу (і довіряйте мені, ви хочете), ви не можете прийняти запропоновані вами сигнали як власні сигнали.

L^{2}

$L^2$

— Jazzmaniac

0

Я думав, що я чітко сформулював свою відповідь --- мабуть, не :-). Первісне питання було: "Чи існують власні сигнали, окрім складної експоненції для системи LTI?". Відповідь полягає в тому, що якщо враховувати той факт, що система є LTI, але нічого іншого не відомо, то єдиним підтвердженим власним сигналом є складна експоненція. У конкретних випадках система також може мати додаткові власні сигнали. Приклад, який я наводив, був ідеальним LPF, коли синхрон був таким власним сигналом. Зауважимо, що функція sinc не є власним сигналом довільної системи LTI. Я наводив LPF та sinc як приклад, щоб вказати нетривіальний випадок --- x (t) = y (t) задовольнить математика, але не інженера: ->. Я впевнений, що можна придумати й інші конкретні нетривіальні приклади, які крім складних експоненціалів мають інші сигнали як власні сигнали.

Крім того, cos і гріх взагалі не є власними ознаками. Якщо застосовується cos (wt), а вихід - A cos (wt + theta), то цей вихід не може бути виражений як постійний раз вхід (за винятком випадків, коли theta дорівнює 0 або pi, або A = 0), що є умовою необхідний для того, щоб сигнал був власним сигналом. Можуть бути умови, за яких cos і гріх є власними, але це окремі випадки, а не загальні.

КСВ

— КСВ
джерело

Ви впевнені, що зрозуміли мій коментар до іншої відповіді? Справа в тому, що для реальних систем LTI очікується наявність справжнього синуса як власного сигналу. Це не означає, що всі синуси всіх частот є власними сигналами. Я спеціально дав точну умову, для якої вони такі, і пояснив, чому ця умова відповідає більшості систем LTI.

— Jazzmaniac

Крім того, не забувайте, що ви відредагували свою відповідь, щоб змінити значення зовсім небагато. Крок від "Для функції раціонального перенесення немає інших власних сигналів" до "Для довільних систем крім загальних власних сигналів немає .." досить великий. Тож говорити так, що люди неправильно зрозуміли вашу відповідь - це небагато.

— Jazzmaniac

0

Можливо просторово інваріантні багатовимірні об'єкти, як об'єктиви з круглою симетрією. Це називається розширенням Фур'є Бесселя. Час T не існує, але стосуються частотних зонних частот