Як я можу знайти імпульсну відповідь системи від її представлення у просторі стану за допомогою матриці переходу стану?

Припустимо, у нас є лінійна представлена у стандартній нотації простору стану:

\dot{х} (т) = А х (т) + Б у (т)

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

у (т) = С х (т) + D у (т)

$y(t) = Cx(t) + Du(t)$

Для того, щоб отримати його імпульсну відповідь, можна отримати його трансформацію Лапласа, щоб отримати

с Х = А Х + Б U

$sX=AX+BU$

Y = С Х + D U

$Y=CX+DU$

а потім вирішити для функції передачі, яка є

\frac{Y}{U} = С (с Я - А)^{- 1} Б + D

$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$

Аналогічно, для дискретної системи -трансформа $\mathcal{Z}$

х [н + 1] = А х [н] + Б у [н]

$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$

у [н] = С х [н] + D у [н]

$y[n] = Cx[n] + Du[n]$

\frac{Y}{U} = С (z Я - А)^{- 1} Б + D

$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$

Цей процес здається трохи довгим, і я пам'ятаю, що існує спосіб знайти імпульсну відповідь за допомогою матриці переходу стану, яка є рішенням для перших рівнянь кожної пари. Хтось знає, як це зробити? $x$

impulse-response state-space linear-systems

— Фонон
джерело

Ви можете підійти до проблеми, використовуючи матрицю переходу стану, вирішивши стандартне неоднорідне ODE у першому рівнянні. Рішення є $\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

х (т) = х_{0} е^{А т} + \int_{0}^{т} е^{А (т - т^{'})} Б у (т^{'}) г т^{'}

$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$

де . Кількість називається матрицею переходу стану (також рішенням однорідної ODE), яку я буду називати (я не пригадую для цього стандартних позначень). Беручи , рівняння для стає $x_0=x(0)$ $e^{At}$ $\Xi(t)$ $x_0=0$ $y(t)$

у (т) = С \int_{0}^{т} Ξ (т - т^{'}) Б у (т^{'}) г т^{'} + D у (т)

$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$

$\Xi(t)=e^{At}$ $(sI-A)^{-1}$

Y = С (с Я - А)^{- 1} Б U + D U

$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$

що дає вам таку ж функцію передачі, як і у вашому запитанні.

Що стосується Вашого коментаря щодо повністю підходу до трансформації Лапласа, я не обов'язково кажу, що це так. Однак підхід до матриці переходу стану може бути простішим у здійсненні , тому що кілька операцій, пов'язаних з ним, можна обчислити простими множеннями матриць і більше нічого.

— Лорем Іпсум
джерело

Дуже приємний опис.

— Jason R