Коли ми можемо написати Принцип невизначеності Гейзенберга як рівність?


14

Ми знаємо, що Принцип невизначеності Гейзенберга стверджує, що

ΔfΔt14π.

Але (в багатьох випадках для вейвлета Морле) я бачив, що вони змінили нерівність на рівність. Тепер моє запитання - коли нам дозволяють змінити нерівність на рівність:

ΔfΔt=14π
why =

здається дуже цікавим
dato datuashvili

1
наскільки я знаю, що рівне, якщо гауссова розподіл є оптимальною формою, будь ласка, дивіться цю книгу «Ілюстрований посібник з перетворення вейвлетів»: вступна теорія та застосування в науці, техніці, медицині та фінансах
dato datuashvili

1
посилання не працює, приятель, чи ви надішлите електронною поштою книгу, чи надішліть інше, будь ласка мій електронний лист: <electrictranslation@gmail.com> спасибі @datodatuashashvili
Electricman

Відповіді:


8

Важливо визначити часові та частотні ширини та сигналу, перш ніж обговорювати будь-які спеціальні форми принципу невизначеності. Не існує єдиного визначення цих величин. За допомогою відповідних визначень можна показати, що лише сигнал Гаусса відповідає рівності принципу невизначеності.Δ ωΔtΔω

Розглянемо сигнал з перетворенням Фур'є задовольняєF ( ω )f(t)F(ω)

f2(t)dt=1(unit energy)t|f(t)|2dt=0(centered around t=0)ω|F(ω)|2dω=0(centered around ω=0)

Жодна з цих умов насправді не є обмеженням. Всі вони можуть бути задоволені (для сигналів з кінцевою енергією) шляхом відповідного масштабування, перекладу та модуляції.

Якщо тепер визначимо ширину часу та частоти так

Δt2=t2|f(t)|2dtΔω2=ω2|F(ω)|2dω

то принцип невизначеності говорить про це

(2.6.2)Δt2Δω2π2

(якщо зникає швидше, ніж для )1 / f(t) t±1/tt±

де нерівність задовольняється рівністю для сигналу Гаусса

(2.6.3)f(t)=απeαt2

Числа рівнянь вище наведені докази, наведені нижче, наведені з кодування вейвлетів та підсмуг Веттерлі та Ковачевича (с.80):

введіть тут опис зображення


дякую за математику, я спробую це зрозуміти. @ matt-l
Electricman

@Matt L .: Чому ви визначаєте часові та частотні ширини за допомогою вагового коефіцієнта? У школі я бачив, що varit і ∆w є дисперсіями. Варіанти розподілів є лінійним ваговим фактором? Що це? Так це означає, що цей принцип невизначеності говорить не про дисперсії функції та дисперсії її спектру, а про щось інше?
Мартійн Курто

@MartijnCourteaux: Це лише один із можливих способів визначення ширини сигналу. Застосовуючи функцію часу, її часто називають тривалістю RMS , і це просто другий момент . |f(t)|2
Метт Л.

Чи можна математично констатувати принцип невизначеності Гейзенберга, що передбачає другий момент ? Я можу зрозуміти, що Гейзенберг використовував , тому що це ймовірність хвилевої функції частинок. Але я хотів би знати принцип Гейзенберга в контексті обробки сигналів. | f ( x ) | 2f(t)|f(x)|2
Мартійн Курто

1
@MartijnCourteaux: Це є принцип невизначеності в контексті обробки сигналів. Другий момент не має інтерпретації як тривалості, оскільки може бути позитивним і негативним. Уявіть непарний сигнал . Другий його момент завжди дорівнює нулю (якщо інтеграл сходиться). f ( t ) f ( t ) - t 2 f ( t ) d tf(t)f(t)f(t)t2f(t)dt
Метт Л.

3

Я не можу дати вам всю теорію за цим (оскільки він буквально заповнює книги), але виявляється, що Гейзенберг стає точною рівністю саме для цієї сімейства сигналів:

st0,ω0,σ,ϕ,γ(t)=exp((tt0σ)2+i(ϕ+ω0(tt0)+γ(tt0)2))

де всі параметри - дійсні числа. Це сімейство породжене квадратичними симплектоморфізмами у часовій частоті від одного атома Габора. Ці симплектоморфізми зберігають відношення невизначеності Гейзенберга.

Редагувати: Дозвольте зробити це більш точним, а також насправді більш правильним. Сигнали, які я подав вище, мінімізують область частоти часу, але не продукт невизначеності часової частоти. Якщо ви хочете мінімально то зверху повинна зникнути.γΔFΔTγ

Однак поняття області частоти часу може бути узагальнено для вимірювання площі фігур, яка не вирівняна з віссю часу та частоти. Це означає, що замість добутку невизначеності між F і T ми вимірюємо добуток мінімальної невизначеності будь-яких двох сполучених змінних, що охоплюються F і T. Я пошкодую вас деталями, але для цього визначення області частоти частота сімейства сигналів дає ти мінімум.


1
Хіба це не фубуртюри Gabuor fijlter? "
Жан-Ів

Однією з причин того, що вона "заповнює книги" є те, що багато умов, необхідних для рівності, точно визначені та обмежені (щонайменше корисні в будь-якому іншому контексті, наприклад, у реальному світі).
hotpaw2

Початковим контекстом принципу невизначеності Гейзенберга була фізика, зокрема квантова механіка, де споріднені змінні - це положення і імпульс. Він не обмежується часом / частотним аналізом.
користувач2718

@BZ, ти тут проповідуєш хору. Я математичний квантовий фізик. Однак я не зовсім бачу сенс вашого коментаря тут чи у вашій власній відповіді.
Джазманяк

2

Принцип невизначеності встановлює теоретичну межу для вирішення, тому він ніколи не записується як рівність.

Відносини рівності, з якими ви стикаєтесь, призначені для конкретного контексту аналізу та здійснення аналізу. У цьому випадку контекст - це аналіз сигналу, тому час / частота є сукупними змінними, що цікавлять, а реалізація - конкретний вейвлет, який використовується.

Співвідношення рівності надає спосіб порівняння резолюцій у різних реалізаціях аналізу. Необхідно бути обережним при тлумаченні цих відносин, оскільки визначення резолюції не повинно, але може відрізнятися.

Співвідношення рівності є доцільним після того, як ви визначили дві речі: 1) математичне значення роздільної здатності. 2) метод аналізу (в даному випадку вибір вейвлета).


Якщо копати глибше, то принцип Гейзенберга стає набагато більше, ніж твердження про резолюцію. Це глибоко пов'язане з геометрією часової частоти в математичній структурі, що називається симплектичною некомутативною геометрією. Він забезпечує інформаційно-теоретичну міру для частотно-часової інформації та стає точно інтегрально кількісною. Ви навіть можете використовувати його для узагальнення теореми Шеннона для реконструкції довільних TF-областей.
Jazzmaniac

У квантовій механіці принцип невизначеності - це будь-яка з різноманітних математичних нерівностей, що підтверджують фундаментальну межу точності, з якою можуть бути відомі одночасно певні пари фізичних властивостей частинки, відомі як додаткові змінні, такі як положення х та імпульс р. Наприклад, у 1927 році Вернер Гейзенберг заявив, що чим точніше визначається положення якоїсь частинки, тим менш точно може бути відомий її імпульс, і навпаки. [Вікіпедія - але я дізнався це з фізики і відвідав її знову на уроках з аналізу]
користувач2718
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.