Коли ми можемо написати Принцип невизначеності Гейзенберга як рівність?

Ми знаємо, що Принцип невизначеності Гейзенберга стверджує, що

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

Але (в багатьох випадках для вейвлета Морле) я бачив, що вони змінили нерівність на рівність. Тепер моє запитання - коли нам дозволяють змінити нерівність на рівність:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— Електромонтажник
джерело

здається дуже цікавим

— dato datuashvili

наскільки я знаю, що рівне, якщо гауссова розподіл є оптимальною формою, будь ласка, дивіться цю книгу «Ілюстрований посібник з перетворення вейвлетів»: вступна теорія та застосування в науці, техніці, медицині та фінансах

— dato datuashvili

посилання не працює, приятель, чи ви надішлите електронною поштою книгу, чи надішліть інше, будь ласка мій електронний лист: <electrictranslation@gmail.com> спасибі @datodatuashashvili

— Electricman

Відповіді:

Важливо визначити часові та частотні ширини та сигналу, перш ніж обговорювати будь-які спеціальні форми принципу невизначеності. Не існує єдиного визначення цих величин. За допомогою відповідних визначень можна показати, що лише сигнал Гаусса відповідає рівності принципу невизначеності. $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

Розглянемо сигнал з перетворенням Фур'є задовольняє $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

Жодна з цих умов насправді не є обмеженням. Всі вони можуть бути задоволені (для сигналів з кінцевою енергією) шляхом відповідного масштабування, перекладу та модуляції.

Якщо тепер визначимо ширину часу та частоти так

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

то принцип невизначеності говорить про це

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

(якщо зникає швидше, ніж для ) $f(t)$ $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

де нерівність задовольняється рівністю для сигналу Гаусса

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

Числа рівнянь вище наведені докази, наведені нижче, наведені з кодування вейвлетів та підсмуг Веттерлі та Ковачевича (с.80):

введіть тут опис зображення

— Метт Л.
джерело

дякую за математику, я спробую це зрозуміти. @ matt-l

— Electricman

@Matt L .: Чому ви визначаєте часові та частотні ширини за допомогою вагового коефіцієнта? У школі я бачив, що varit і ∆w є дисперсіями. Варіанти розподілів є лінійним ваговим фактором? Що це? Так це означає, що цей принцип невизначеності говорить не про дисперсії функції та дисперсії її спектру, а про щось інше?

— Мартійн Курто

@MartijnCourteaux: Це лише один із можливих способів визначення ширини сигналу. Застосовуючи функцію часу, її часто називають тривалістю RMS , і це просто другий момент .

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

— Метт Л.

Чи можна математично констатувати принцип невизначеності Гейзенберга, що передбачає другий момент ? Я можу зрозуміти, що Гейзенберг використовував , тому що це ймовірність хвилевої функції частинок. Але я хотів би знати принцип Гейзенберга в контексті обробки сигналів.

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

— Мартійн Курто

@MartijnCourteaux: Це є принцип невизначеності в контексті обробки сигналів. Другий момент не має інтерпретації як тривалості, оскільки може бути позитивним і негативним. Уявіть непарний сигнал . Другий його момент завжди дорівнює нулю (якщо інтеграл сходиться).

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

— Метт Л.

Я не можу дати вам всю теорію за цим (оскільки він буквально заповнює книги), але виявляється, що Гейзенберг стає точною рівністю саме для цієї сімейства сигналів:

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + i (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

де всі параметри - дійсні числа. Це сімейство породжене квадратичними симплектоморфізмами у часовій частоті від одного атома Габора. Ці симплектоморфізми зберігають відношення невизначеності Гейзенберга.

Редагувати: Дозвольте зробити це більш точним, а також насправді більш правильним. Сигнали, які я подав вище, мінімізують область частоти часу, але не продукт невизначеності часової частоти. Якщо ви хочете мінімально то зверху повинна зникнути. $\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

Однак поняття області частоти часу може бути узагальнено для вимірювання площі фігур, яка не вирівняна з віссю часу та частоти. Це означає, що замість добутку невизначеності між F і T ми вимірюємо добуток мінімальної невизначеності будь-яких двох сполучених змінних, що охоплюються F і T. Я пошкодую вас деталями, але для цього визначення області частоти частота сімейства сигналів дає ти мінімум.

— Джазманіак
джерело

Хіба це не фубуртюри Gabuor fijlter? "

— Жан-Ів

Однією з причин того, що вона "заповнює книги" є те, що багато умов, необхідних для рівності, точно визначені та обмежені (щонайменше корисні в будь-якому іншому контексті, наприклад, у реальному світі).

— hotpaw2

Початковим контекстом принципу невизначеності Гейзенберга була фізика, зокрема квантова механіка, де споріднені змінні - це положення і імпульс. Він не обмежується часом / частотним аналізом.

— користувач2718

@BZ, ти тут проповідуєш хору. Я математичний квантовий фізик. Однак я не зовсім бачу сенс вашого коментаря тут чи у вашій власній відповіді.

— Джазманяк

Принцип невизначеності встановлює теоретичну межу для вирішення, тому він ніколи не записується як рівність.

Відносини рівності, з якими ви стикаєтесь, призначені для конкретного контексту аналізу та здійснення аналізу. У цьому випадку контекст - це аналіз сигналу, тому час / частота є сукупними змінними, що цікавлять, а реалізація - конкретний вейвлет, який використовується.

Співвідношення рівності надає спосіб порівняння резолюцій у різних реалізаціях аналізу. Необхідно бути обережним при тлумаченні цих відносин, оскільки визначення резолюції не повинно, але може відрізнятися.

Співвідношення рівності є доцільним після того, як ви визначили дві речі: 1) математичне значення роздільної здатності. 2) метод аналізу (в даному випадку вибір вейвлета).

— user2718
джерело

Якщо копати глибше, то принцип Гейзенберга стає набагато більше, ніж твердження про резолюцію. Це глибоко пов'язане з геометрією часової частоти в математичній структурі, що називається симплектичною некомутативною геометрією. Він забезпечує інформаційно-теоретичну міру для частотно-часової інформації та стає точно інтегрально кількісною. Ви навіть можете використовувати його для узагальнення теореми Шеннона для реконструкції довільних TF-областей.

— Jazzmaniac

У квантовій механіці принцип невизначеності - це будь-яка з різноманітних математичних нерівностей, що підтверджують фундаментальну межу точності, з якою можуть бути відомі одночасно певні пари фізичних властивостей частинки, відомі як додаткові змінні, такі як положення х та імпульс р. Наприклад, у 1927 році Вернер Гейзенберг заявив, що чим точніше визначається положення якоїсь частинки, тим менш точно може бути відомий її імпульс, і навпаки. [Вікіпедія - але я дізнався це з фізики і відвідав її знову на уроках з аналізу]

— користувач2718