Знаходження z-перетворення

Тому я намагаюся вирішити, чи призначена косинусна частина підключена до $z$ чи вона строго частина $h[n]$ . (число a лежить у відкритому диску)

Я маю на увазі, я був впевнений, що це все частина $h[n]$ але потім, виконуючи z-перетворення, я отримую цю раціональну функцію

\frac{1 - a \cos (2 π \frac{f_{0}}{F_{s}}) z^{- 1}}{1 - 2 a \cos (2 π \frac{f_{0}}{F_{s}}) z^{- 1} + a^{2} z^{- 2}}

$\frac{1 - a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1}}{1-2a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1} + a^2z^{-2}}$

Справа в тому, що я повинен оцінити полюси і нулі, і якщо ви просто ігноруєте косинусні частини, ви отримаєте це дійсно приємне раціональне вираження, яке враховує фактори і спрощує вниз до . $\displaystyle\frac{z}{z-a}$

Тож це змусило мене думати, що, можливо, я не розумію речі правильно, і частина косинуса повинна бути підключена до чи щось таке. Хтось може мені це уточнити? $z$

z-transform

— Заубертранк
джерело

Підказка: Використовуйте тотожність Ейлера, щоб виразити

як суму двох складних експоненціальних функцій, а потім підсумовувати отриманий геометричний ряд. Читання моєї відповіді на ваше інше запитання може допомогти з’ясувати, що означає геометричний ряд.

\cos (2 π n / F_{0} f_{0})

$\cos(2\pi n/F_0 f_0)$

— Діліп Сарват

Я все це зробив, саме так я отримав раціональне вираження вище. Оскільки я опублікував це, я насправді зміг визначити його та отримати полюси та нулі, дякую за допомогу в будь-якому випадку. Насправді ви могли б зробити мені суцільний і сказати мені код matlab, необхідний для побудови частотної характеристики цієї системи з a = 0,8, F_s = 128 і f_0 = 32? Дякую.

— Zaubertrank

Чи отримали ви два складні сполучені полюси в місцях розташування на колі радіуса

? Що стосується MATLAB, я шкодую, що не можу вам допомогти, оскільки я не знайомий із синтаксисом MATLAB. Зачекайте трохи часу, і я впевнений, що хтось ще допоможе вам.

| a |

$|a|$

— Діліп Сарват

Так ось я їх отримав.

— Zaubertrank

@Zaubertrank "freqz" дуже добре працює для аналізу продуктивності фільтру в Matlab.

— Джим Клей

Сигнал часової області (або імпульсна відповідь)

h (n) = a^{n} \cos n θ_{0}, θ_{0} = 2 π \frac{f_{0}}{f_{s}}, n \geq 0

$h(n)=a^{n}\cos n\theta_0,\quad \theta_0=2\pi\frac{f_0}{f_s},\; n\ge 0$

$|a|<1$ $H(z)$

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} H (z) & = \frac{1 - a z^{- 1} \cos θ_{0}}{1 - 2 a z^{- 1} \cos θ_{0} + a^{2} z^{- 2}} \\ = \frac{z (z - a \cos θ_{0})}{z^{2} - 2 a z \cos θ_{0} + a^{2}} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}H(z)&=\frac{1-az^{-1}\cos \theta_0}{1-2az^{-1}\cos\theta_0+a^2z^{-2}}\\&= \frac{z(z-a\cos \theta_0)}{z^2-2az\cos\theta_0+a^2}\end{align}\tag{1}$

$H(z)$

z_{0, 0} = 0 z_{0, 1} = a \cos θ_{0}

$z_{0,0}=0\quad z_{0,1}=a\cos\theta_0$

$H(z)$

\begin{matrix} (2) & H (z) = \frac{1}{2} [\frac{1}{1 - a e^{j θ_{0}} z^{- 1}} + \frac{1}{1 - a e^{- j θ_{0}} z^{- 1}}] \end{matrix}

$H(z)=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{1-ae^{j\theta_0}z^{-1}} + \frac{1}{1-ae^{-j\theta_0}z^{-1}} \right ]\tag{2}$

z_{\infty, 0} = a e^{j θ_{0}} z_{\infty, 1} = a e^{- j θ_{0}}

$z_{\infty,0}=ae^{j\theta_0}\quad z_{\infty,1}=ae^{-j\theta_0}$

h (n)

$h(n)$

h (n)

$h(n)$

| a | < 1

$|a|<1$

— Метт Л.
джерело

Z-перетворення $x(n) = a^ncos(nθ)u(n)...$ буде: введіть тут опис зображення Сподіваюся, що це корисно

— ОЗП
джерело

Ви б не хотіли поставити його в TeX, а не в картинку?

— jojek