Що

9

Що $\mathcal Z$ -трансформація послідовності $J_0(\alpha n)$ для $n \in \mathbb{Z}$ ?

Перетворення Фур'є в нуль $^{\rm th}$ замовити функцію Бесселя $J_0(\alpha x)$ як відомо $\frac{2}{\sqrt{\alpha^2 - \omega^2}}$ для $|\omega| < \alpha$ . Це полюс у $\omega = \alpha$ . Чи означає це, що $\mathcal Z$ -трансформа також матиме полюс на одиничному колі?

Редагувати:

Проблема, яку я розглядаю, стосується дискретних зразків функції Бесселя, тобто $J_0(n)$ . Як слід діяти, щоб визначити його $\mathcal Z$ -трансформація?

fourier-transform z-transform

— sauravrt
джерело

Мені цікаво, яка заявка на це?

— nibot

@nibot Я працюю з ізотропною моделлю шуму, і для 2D випадку елементи матриці коваріації шуму є функціями Бесселя першого типу. Власні значення ков. матриця пов'язана з Z-перетворенням послідовності функції Бесселя.

— sauravrt

2

Розширення Тейлора для функції Бесселя першого роду та 0-го порядку

J_{0} (х) = \sum_{м = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{м}}{(м!)^{^{2}}} {(\frac{1}{2} х)}^{2 м}

$J_{0}\left ( x \right )= \sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{^{2}}}\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2m}$

(див. http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function )

Таким чином, ви можете в основному наблизити це як Z-перетворення многочлена.

— Гільмар
джерело

1

Ви можете застосувати визначення $\mathcal Z$ -перетворювати на еквівалентний вираз функції Бесселя, або наближення.

Еквівалентна функція може бути:

\begin{aligned} J_{0} (х) & = \frac{1}{π} \cos (х \cos ϕ) г ϕ \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (1 - \frac{х^{2} \cos^{2} ϕ}{2!} + \frac{х^{4} \cos^{4} ϕ}{4!} - \frac{х^{6} \cos^{6} ϕ}{6!} + \dots) г ϕ \end{aligned}

$\begin{align} J_0(x) &= \frac 1\pi\cos\left(x\cos\phi\right)d\phi\\ &=\frac 1\pi\int_0^\pi\left(1-\frac{x^2\cos^2\phi}{2!}+\frac{x^4\cos^4\phi}{4!}-\frac{x^6\cos^6\phi}{6!}+\cdots\right)d\phi \end{align}$

Оновлення :

Більше інформації про еквівалентні вирази тут .

— Луїс Андрес Гарсія
джерело

1

Наближення для

J_{0} (x)

$J_0(x)$ на першому кроці відсутній цілісний знак. Я не можу бачити, щоб ви отримали приблизне Z-перетворення. У мене була інша ідея, використовуючи наближення

J_{0} (x) = \sqrt{(} \frac{2}{x π} c o s (x - π / 4)

$J_0(x) = \sqrt(\frac{2}{x \pi} cos(x - \pi/4)$ . Я спробував такий підхід і закінчив Z-перетворення, що включає функцію PolyLogarithmic. (Використовується Mathematica).

— соуварт

Я вважаю, що наближення, про яке він говорить, є наближенням до модифікованої функції Бесселя першого типу

I_{0} (z)

$I_0(z)$ (якщо мені служить пам'ять). The

z

$z$ є аргументом функції, а не

z

$z$ як і в

z

$z$ -трансформація. Він вказує, що замість того, щоб оцінювати

z

$z$ - безпосередньо трансформуйте суму, ви можете використовувати якусь іншу форму, яка є еквівалентною або приблизно еквівалентною функції, що цікавить, яку може бути легше перетворити.

— Джейсон R

Ваша вдячність щодо наближення була правдою. Я відредагував свою відповідь.

— Луїс Андрес Гарсія