Обчислення PDF-сигналу з його зразків

Деякий час тому я намагався різними способами намалювати цифрові форми хвиль , і одна з речей, яку я спробувала, була замість стандартного силуету амплітудної оболонки, щоб відобразити її більше як осцилоскоп. Ось як виглядають синусоїдальна та квадратна хвиля в масштабі:

Наївний спосіб зробити це:

1. Розділіть аудіофайл на один відрізок на горизонтальний піксель у вихідному зображенні
2. Обчисліть гістограму амплітуд вибірки для кожного шматка
3. Накресліть гістограму за яскравістю у вигляді стовпчика пікселів

Це дає щось подібне:

Це добре працює, якщо є багато зразків на шматок, і частота сигналу не пов'язана з частотою вибірки, але не інакше. Наприклад, якщо частота сигналу є точним підмножиною частоти дискретизації, наприклад, зразки завжди відбуватимуться з однаковою амплітудою в кожному циклі, а гістограма буде лише в декількох точках, хоча фактичний реконструйований сигнал існує між цими точками. Цей синусоїд повинен бути таким же гладким, як і вліво, але це не тому, що він рівно 1 кГц, і вибірки завжди виникають приблизно в одних і тих же точках

Я намагався збільшити кількість балів, щоб збільшити кількість балів, але це не вирішує проблему, а просто допомагає згладити речі в деяких випадках.

Тож, що мені дуже хотілося, це спосіб обчислити справжній PDF (ймовірність проти амплітуди) безперервного реконструйованого сигналу з його цифрових зразків (амплітуда проти часу). Я не знаю, який алгоритм використовувати для цього. Загалом, PDF функції є похідною від її зворотної функції .

PDF гріха (x): $\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Але я не знаю, як обчислити це для хвиль, де обернена є багатозначною функцією , або як це швидко зробити. Розбийте його на гілки і обчисліть обернену кожну, візьміть похідні та підсумовуйте їх усі разом? Але це досить складно і, мабуть, є простіший спосіб.

Цей "PDF інтерпольованих даних" також застосовний до спроби я зробив оцінку щільності ядра GPS-треку. Він повинен був бути кільцеподібним, але оскільки він дивився лише на зразки і не враховував інтерпольованих точок між зразками, KDE виглядав більше як горб, ніж кільце. Якщо зразки - це все, що ми знаємо, то це найкраще, що ми можемо зробити. Але зразки - це не все, що ми знаємо. Ми також знаємо, що між зразками є шлях. Для GPS немає ідеальної реконструкції Nyquist, як це є для смугового звуку, але основна ідея все-таки застосовується, з певними здогадами щодо функції інтерполяції.

Інтерполюйте в кілька разів початкову швидкість (наприклад, 8-кратну вибірку). Це дозволяє приймати кусочно лінійний сигнал. Цей сигнал буде мати дуже малу помилку порівняно з нескінченною роздільною здатністю, безперервним інтерполяцією сигналу sin (x) / x.

Припустимо, що у кожної пари значень зразка є безперервний рядок від одного значення до іншого. Використовуйте всі значення між. Це дає вам один тонкий горизонтальний зріз від y1 до y2, який потрібно накопичити в PDF довільної роздільної здатності. Кожен прямокутний зріз вірогідності повинен бути розміщений до області 1 / n зразків.

Використання лінії між зразками, а не самим зразком перешкоджає PDF-накопичувачу, навіть у тому випадку, коли існує принципова залежність між періодом вибірки та формою хвилі.

Те, що я б пішов, - це, по суті, "випадковий перепробірник" Джейсона Р, що, в свою чергу, є реалізацією на основі пресампльованого сигналу стохастичної вибірки йоди.

Я використовував просту кубічну інтерполяцію до однієї випадкової точки між кожними двома зразками. Для примітивного синтезного звуку (занепад від насиченого недіапазонного сигналу квадратного типу + навіть гармонік до синусу) це виглядає приблизно так:

Порівняймо його з версією з більш високим зразком,

і дивна з тим самим зразком, але не інтерполяція.

Помітним артефактом цього методу є простріл у домені, що нагадує квадрат, але це фактично те, що PDF-сигнал відфільтрованого за допомогою синк-сигналу (як я вже сказав, мій сигнал не обмежений) також виглядатиме і представляє сприйняту голосність набагато краще ніж піки, якби це був звуковий сигнал.

Код (Haskell):

cubInterpolate vll vl v vr vrr vrrr x
    = v*lSpline x + vr*rSpline x
      + ((vr-vl) - (vrr-vll)/4)*ldSpline x
      + ((vrr-v) - (vrrr-vl)/4)*rdSpline x
     where lSpline x = rSpline (1-x)
           rSpline x = x*x * (3-2*x)
           ldSpline x = x * (1 + x*(x-2))
           rdSpline x = -ldSpline (1-x)

                   --  rand list   IN samples  OUT samples
stochasticAntiAlias :: [Double] -> [Double] -> [Double]
stochasticAntiAlias rs (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:[]) = []
stochasticAntiAlias (r:rLst) (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:lsrrr:t)
    = ( cubInterpolate lsll lsl lsc lsr lsrr lsrrr r )
          : stochasticAntiAlias rLst (lsll:lsl:lsc:lsr:lsrr:lsrrr:t)

rand list - список випадкових змінних у діапазоні [0,1].

Хоча ваш підхід теоретично правильний (і його потрібно трохи змінити для немонотонних функцій), обчислити оберненість родової функції вкрай важко. Як ви кажете, вам доведеться мати справу з точками відділення та зрізанням гілок, що можливо, але ви серйозно не хотіли б цього робити.

Як ви вже згадували, регулярні вибірки відбирають один і той же набір балів і, як такий, дуже чутливі до поганих оцінок в регіонах, де він не проводить вибірку (навіть якщо критерій Найквіста задоволений). У цьому випадку відбір проб протягом більш тривалого періоду також не допомагає.

Взагалі, коли ми маємо справу з функціями щільності ймовірності та гістограмами, набагато краща ідея думати з точки зору стохастичної вибірки, ніж звичайна вибірка (див. Пов'язану відповідь для вступу). Провівши вибірковий аналіз на стохастичному рівні, ви можете переконатися, що кожна точка має однакову ймовірність потрапляння у "удар" і є набагато кращим способом оцінювати pdf.

$f(x)=\sin(20\pi x) + \sin(100\pi x)$$f_s=1000$$f_N=100$$1000$ вибірки (рівномірний розподіл) за секунду (я тут не використовую Гц, тому що це означає інше значення) протягом 30 секунд дає графік праворуч (те саме бінінг).

Ви легко бачите, що, хоча це шумно, це набагато краще наближення до фактичного PDF, ніж той, що праворуч, який показує нулі через кілька інтервалів та великі помилки в кількох інших. Маючи більший час спостереження, ви можете зменшити дисперсію праворуч, зрештою переходячи до точного PDF (пунктирна чорна лінія) в межах великих спостережень.

Оцінка щільності ядра

Одним із способів оцінювання PDF форми сигналу є використання оцінювача щільності ядра .

$x(n)$$K(\mathrm{x})$$\delta(\mathrm{x} - x(n))$$\hat{P}$

Оновлення: цікава додаткова інформація.

$x(n)$$n= 0,1,...,N-1$$X(k)$

$X(k)$$e^{\jmath 2\pi n k /N}$

Так здогад на те , що ви aftermight бути згортка всіх PDF - файлів кожного компонент тусовки Фур'є:

$X(k)$$x(n)$

Хоча потрібно більше думки!

Як ви вказали в одному зі своїх коментарів, було б привабливо мати можливість обчислити гістограму реконструйованого сигналу, використовуючи лише зразки та PDF функції sinc, що інтерполює смугові сигнали. На жаль, я не думаю, що це можливо, оскільки в гістограмі синка немає всієї інформації, яку має сам сигнал; вся інформація про позиції часової області, де зустрічається кожне значення, втрачається. Це унеможливлює моделювання того, як масштабовані та затримані у часі версії sinc підсумовуватимуться, що саме ви хочете, щоб обчислити гістограму "безперервної" або вгорі вибіркової версії сигналу, не роблячи фактично підбір проб.

Я думаю, що вам залишається інтерполяція як найкращий варіант. Ви вказали на кілька питань, які заважали вам цього зробити, які, на мою думку, можна вирішити:

• Витрати на обчислення: це, звичайно, завжди є відносною проблемою, залежно від конкретної програми, для якої ви хочете використовувати це. На основі посилання, яке ви опублікували в зібраній галереї візуалізації, я припускаю, що ви хочете зробити це для візуалізації звукових сигналів. Незалежно від того, чи цікавить вас це програма в режимі реального часу або в режимі офлайн, я б радив вам скласти прототип ефективного інтерполятора і перевірити, чи справді це занадто дорого. Поліфазне перекомпонування - це хороший спосіб зробити це гнучким (можна використовувати будь-який раціональний фактор).

• $\pi$

Потрібно згладити гістограму (це дасть аналогічні результати, як використання методу ядра). Як саме потрібно проводити розгладження, потрібно експериментувати. Можливо, це також можна зробити за допомогою інтерполяції. На додаток до вирівнювання, я вважаю, що ви також отримаєте покращені результати, якщо покращити форму сигналу таким чином, щоб частота вибірки була «значно вищою», ніж найвища частота у вашому введенні. Це повинно допомогти у "хитрому" випадку, коли синусова хвиля пов'язана з частотою вибірки таким чином, що заповнюється лише кілька бункерів гістограми. Якщо взяти до крайнього значення, достатньо висока частота вибірки повинна дати вам гарні сюжети без згладжування. Таким чином, збільшення вибору в поєднанні з деяким вигладжуванням повинно дати кращі сюжети.

Ви наводите приклад тону 1 кГц, де сюжет не такий, як ви очікували. Ось моя пропозиція (код Matlab / Octave)

pixels_vertical = 100;
% This needs to be tuned to your configuration and acceptance
upsampling_factor = 16*(pixels_vertical/100); 
fs_original = 48000;
fsine = 1000; % in Hz
fs_up = upsampling_factor*fs_original;
duration = 1; % in seconds
x = sin(2*pi*fsine*[0:duration*fs_up]/fs_up);
period_in_samples = fs_up/fsine;
hist_points = linspace(-1,1,pixels_vertical);
istart = 1;
iend   = period_in_samples;
pixel_values = hist(x(istart:iend), hist_points);
% smooth pixel values
[b,a] = butter(2,0.2);
pixel_values_smooth = filtfilt(b,a,pixel_values);
figure;hold on;
plot(hist_points, pixel_values);
plot(hist_points, pixel_values_smooth,'r');

За ваш тон 1000 Гц ви отримуєте це

Що вам потрібно зробити, це налаштувати вираз upsampling_factor на свої уподобання.

Все ще не на 100% впевнений, які саме ваші вимоги. Але використовуючи вищезазначений принцип посилення та згладжування, ви отримаєте це для 1 кГц (зроблено за допомогою Matlab). Зауважте, що в сирої гістограмі багато бункерів з нульовими зверненнями.