Розв’язування задачі на згортання 1D-сигналу

У мене виникають проблеми, намагаючись вирішити цю вправу. Я повинен обчислити згортку цього сигналу:

$$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$$

де $u(t)$ - функція Heavyyside

добре, я застосував формулу, яка говорить про те, що згортка цих двох сигналів дорівнює

$$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$$

де $X(f)$ - перетворення Фур'є першого сигналу і $W(f)$ - перетворення Фур'є другого сигналу

добре перетворення Фур'є $e^{-kt}u(t)$ є

$$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$$

Я повинен зробити другий сигнал максимально рівним $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

тому я роблю цю операцію:

$$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$$ це рівно $${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$$

правильно чи ні?

Хоча я усвідомлюю, що це дуже пізня відповідь, я все ж спробую відповісти на це питання, тому що вважаю це повчальним, а також тому, що кількість відгуків говорить про те, що це питання є загальним для громади.

Як уже запропоновано у питанні, давайте визначимо два сигнали $x(t)$ і $w(t)$ як

$$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$$

Одне можливе тлумачення згортки $(x*w)(t)$ полягає в тому, що сигнал експоненціально демпфірований $x(t)$ фільтрується ідеальним фільтром низьких частот з імпульсною реакцією $w(t)$. У питанні також було правильно вказано, що згортання у часовій області відповідає множенню в частотній області. Інтеграл Фур'є$x(t)$ можна легко обчислити:

$$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$$

Перетворення Фур'є $w(t)$повинні бути знайомі, оскільки це ідеальний фільтр низьких частот. У запитанні була певна плутанина щодо визначення функції Сінка. Я пропоную просто запам’ятати імпульсну характеристику фільтра низьких частот посилення одиниці із частотою відсічення$\omega_0=2\pi f_0$ без використання жодного з визначень функції Sinc:

$$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$$

Порівнюючи (1) з визначенням $w(t)$, ми це бачимо $w(t)$ - це просто фільтр низького частотного посилення з коефіцієнтом відсічення $\omega_0=\pi/10$:

$$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$$ де я використовував функцію кроку $u(\omega)$ в частотній області.

Для того, щоб знайти функцію часу $y(t)=(x*w)(t)$ можна обчислити зворотне перетворення Фур'є $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$:

$$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$$

На жаль, не існує рішення закритого форми цього інтеграла з використанням елементарних функцій. Його можна оцінити чисельно, використовуючи експоненціальний інтеграл$\text{Ei}(x)$або, в якості альтернативи, синусових і косинусних інтегралів $\text{Si}(x)$ і $\text{Ci}(x)$. Тому я не думаю, що метою вправи було насправді обчислити згортку, але його метою було, мабуть, придумати якісний опис того, що відбувається (експоненціальний сигнал, відфільтрований ідеальним фільтром низьких частот).

Тим не менш, я думав, що було б повчально подивитися на сигнал $y(t)$, тому я оцінив її чисельно за параметрами $k=0.05$ і $\omega_0=\pi/10$. На наступному малюнку показаний результат:

Зелена крива - вхідний сигнал $x(t)$ а синя крива - відфільтрований сигнал $y(t)$. Зверніть увагу на (безпричинні) пульсації$y(t)$ для $t<0$викликаний ідеальним (безпричинним) фільтром низьких частот. Якщо ми збільшимо частоту відсічення фільтра нижніх частот, спотворення вхідного сигналу має стати меншим. Це показано на наступному малюнку, де я збільшив частоту відсічення в 10 разів, тобто$\omega_0=\pi$ (замість $\pi/10$):