Про використання власних векторів для оцінки основної частоти сигналів за допомогою MUSIC

Контекст:

(Відмова: Це НЕ проблема кому).

Я намагаюся оцінити фундаментальну частоту реального, періодичного сигналу. Цей сигнал був побудований шляхом фільтрації відповідного сирого сигналу імпульсу. (відповідний фільтр). Отриманий сигнал має такі характеристики:

Він періодичний. (Основний - 1 / період), і це те, що я намагаюся оцінити.
Він нестаціонарний у часі. Зокрема, амплітуди періодичних імпульсів можуть змінюватись за амплітудою. (наприклад, один імпульс може бути низьким, тоді як інший високим, а наступний знову низьким, а другий після цього середовищем тощо).
Я вважаю, що він є нерухомим за частотою (настільки, наскільки ви приймаєте зміни амплітуд, але не змінюючи діапазони).
Він має гармонічне викривлення. Що я тут маю на увазі, це те, що (і виправте мене, якщо я помиляюся), але що окремі імпульси в межах сигналу не є синусоїдами, а мають "прикольні" форми, як гаусса, трикутник-іш, пів-парабола тощо .

Я намагаюся оцінити фундаментальну частоту цього сигналу.

Звичайно, іноді необроблений сигнал - це не що інше, як шум, але він все одно проходить шлях і все одно фільтрується. (Детальніше про це пізніше).

Що я спробував:

Тепер я знаю безліч основних оцінювачів частоти, таких як

Метод автокореляції
YIN та всі його залежності
Метод FFT.

тощо,

ІН: Я ще не пробував YIN.
Метод FFT: Метод FFT дасть вам усі гармонічні та основні, але я помітив, що це може бути вибагливим особливо в цьому нестаціонарному бізнесі, оскільки фундаментальний не завжди є найвищим піком. Дуже швидко ви виявляєте, що намагаєтеся встановити, яка з багатьох вершин є основоположною, і це стає важкою проблемою.
Автокореляція: Метод автокореляції здається краще, ніж метод FFT, але він все ще чутливий до амплітудних нерівностей сигналу часової області. Метод автокореляції вимірює відстань між центральною долею до наступної найвищої частки. Ця відстань відповідає основній. Однак у нестаціонарних випадках ця вторинна часточка може бути занадто низькою, і ви можете пропустити її в певній схемі порогу.

Тоді мені спало на думку, що, можливо, я можу використовувати метод підпростори, як МУЗИКА, щоб оцінити фундаментальне. Перевіривши це, я виявив, що це дійсно дає дуже приємні результати - це піки - надійно - і навіть у нестаціонарних випадках - на частотах, що відповідають основним вашим сигналам. (Встановіть кількість сигналів, які ви шукаєте, на 2, і це отримає основний - тобто, виберіть 2 найвищі власні вектори (відповідають найвищим значенням власних значень) матриці коваріації сигналів, відкиньте їх і побудуйте підпростір шуму з решти, запроектуйте свою гіпотезу про складні синусоїди проти них, візьміть зворотний і вуаля, хороший псевдоспектр).

Питання та проблеми:

Попри це, я все одно хотів би зрозуміти, чому це працює краще.
У програмі MUSIC ми відкидаємо підпростір сигналу та використовуємо підпростір шуму. Мені здається, що власні вектори сигнального підпростору насправді є якось "найкращим чином" - вони насправді є оптимальними фільтрами. Отже: чому б просто не використовувати безпосередньо власні вектори підпростори сигналу? (Я знаю, що це вже не МУЗИКА, але чому тоді краще використовувати шумовий простір?)
Нарешті, остаточна проблема полягає в тому, що хоча цей метод, здається, працює набагато сильніше для нестаціонарних сигналів (як визначено вище), проблема полягає в тому, що зараз Я ВЗАЄМО отримую відповідь - навіть коли в системі немає нічого, крім шуму! (Я вже згадував, що сировинний попередньо збіжений відфільтрований сигнал може бути просто білим шумом, коли у вас немає періодичного сигналу).

Які способи протидії цьому можуть існувати? Я спробував переглянути власні значення і є дещо більше «кривизни» в їхньому розпаді у випадках, коли є лише шум у випадках, коли є сигнал, коли є сигнал, але я боюся, що він може бути недостатньо надійним.

Бонус:

Коли власні вектори матриці коваріації синусоїд VS щось інше? Що визначає, чи є синусоїдами чи ні? Чому вони не квадратні хвилі? Або вставте сюди сигнали інших форм?

frequency frequency-spectrum autocorrelation

— Космічний
джерело

Мохаммед. Ви можете зробити кілька змін / уточнень? Я можу бути прихильником термінології, але це важливо для майбутніх відвідувачів. Окрім "приємного та чистого", можна сказати, гармонічне спотворення. Замість повторюваних, можна сказати періодично. Стаціонарні можуть посилатися на статистику, що змінюється за часом, або часовий спектр. Ви можете уточнити? Метод автокореляції є псевдонімом методу Yule-Walker. Коли ви говорите «кількість сигналів», це справжні синусоїди чи складні експоненти? Чи можете ви використовувати власне значення найбільшого значення? Ранг має інші значення в лінійній алгебрі. Те саме з 'найвищою дисперсією' ...

— Брайан

... (продовження) Одна важлива річ (і я зазначу це у своїй відповіді, коли ви уточнюєте), це те, що метод MUSIC - це метод шумової підпростори. Отже, в ідеалі не використовуються власні вектори сигнального підпростору, ті, що мають найбільші значення власних значень. Також ваш сигнал є сумою синусоїд, якщо він періодичний. Якщо вона періодична, її можна визначити за допомогою ряду Фур'є, що є сумою дискретних синусоїдів.

— Брайан

@Bryan Вибачте за затримку з поверненням (довгі вихідні), я фактично перероблю все питання найближчим часом і дам вам знати - дякую!

— Спейсі

@Bryan Я нарешті оновив весь пост, додав ваші пропозиції, а також прояснив багато контексту / проблеми. Будь ласка, дивіться. У будь-якому випадку повідомте мені, чи можу я прояснити щось інше.

— Спейсі

@Mohammad Чи можете ви визначити, чи є сигнал присутній чи ні по силі власних векторів - тобто власних значень?

— Джим Клей

f (т, с) = С о v (Х (т), Х (с)) = С о v (Х (т - у), Х (с - у)) = f (т - у, с - у)

$f(t,s)=Cov(X(t),X(s))=Cov(X(t-u),X(s-u))=f(t-u,s-u)$

f (t, s) = f (t - s, 0)

$f(t,s)=f(t-s,0)$

t - s

$t-s$

С о v (Х (с), Х (т)) = \int_{- \infty}^{\infty} е^{i (с - т) х} г мк (х)

$Cov(X(s),X(t))=\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(s-t)x}d\mu(x)$

Інтуїція полягає в тому, що матриця автокореляції, оцінена для деякого кінцевого набору спостережень в сигналі, асимптотично поводиться, подобається матриці циркуляції, оскільки кореляція залежить лише від різниці в часі, а не абсолютних положень, а матриці циркуляційної рідини мають дискретні синусоїди як власні вектори (оскільки вони є згорткою оператори). Доказів цьому є безліч, і це схематична інтуїція.

Набір функцій автокореляції, діагоналізованих синусоїдами, є саме тими, які відповідають стаціонарним процесам, але багато інших функцій автокореляції будуть приблизно діагоналізовані синусоїдами через деякий інтервал. Ці процеси відповідають тим, які можна наблизити стаціонарними процесами через інтервал. Детальніше тут .

Загальні нестаціонарні процеси можуть мати функції автокореляції, які не повинні бути діагоналізовані синусоїдами.

Місцеві стаціонарні процеси матимуть або повільно мінливий спектр та / або невелику кількість добре розташованих різких змін спектру. Мова, звуки тварин, музика та багато інших природних звуків підходять до цього опису. Причина, по якій працюють алгоритми ідентифікації підпростори, наскільки я розумію, полягає в тому, що деякі форми локальної стаціонарності (а не суворі) в цілому належать до типів сигналів, які ми аналізуємо.

— Марк S
джерело

μ

$\mu$

@MarkS Дякую велике У мене є кілька подальших дій: 1) Чи можемо, виходячи з цього, сказати, що процес нерухомий настільки, наскільки власні вектори його матриці коваріації є синусоїдальними? Чи може це бути свого роду мірилом стаціонарності? 2) Ви згадуєте "... і циркуляційні матриці мають дискретні синусоїди як власні вектори (оскільки вони є операторами згортки) ..." Мені незрозуміло, що це означає - які оператори? Ви можете, будь ласка, уточнити. 3) Коли ви говорите "Набір функцій автокореляції", ви говорите про рядки матриці коваріації? Знову дякую.

— Спейсі

@Mohammad Cheers: 1) Так, це можна вільно вважати мірилом стаціонарності. 2) Матриця циркуляції утворюється з усіх циклічних перестановок вектора, тому множення матриці циркуляції на інший вектор - це згортання між цими двома векторами. 3) Функція автокореляції Corr (s, t) - це автокореляція між X (s) та X (t) для деякого випадкового процесу X. Я називаю це функцією, тому що я хочу одночасно обробляти безперервний і дискретний випадок. Зразок матриці автокореляції можна розглядати як дискретне наближення до цієї функції.

— Марк S

@Emre спасибі за вказівку Вінера – Хінчіна_теорема, я дізнався свій аналіз Фур’є спочатку на групах і його ніколи офіційно не вводили в клас обробки сигналів.

— Марк S