Статистичні властивості оцінок Кальмана при гауссових шумах

Для лінійної моделі простору стану з незалежним гауссовим станом і вихідними шумами та ідеальним відгадкою для початкового стану чи мають оцінки Калмана такі властивості: де

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), or V a r ({\hat{x}}_{k | k}), or V a r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

$x_k$ - стан в момент , який є випадковим $k$
$\hat{x}_{k|k}$ і це кальманові есмати, тобто виходи фільтра Калмана. $P_{k|k}$

Чи згадуються про це посилання?

Дякую!

kalman-filters

— Тім
джерело

Is апостеріорної оцінюється ковариационная матриця в момент часу ? Не існує насправді стандартних позначень, які використовуються, тому не зовсім зрозуміло, що ви маєте на увазі під «оцінками Калмана».

P_{k | k}

$P_{k|k}$

k

$k$

— Джейсон R

@Jason: так, це ...

— Тім

Відповіді:

Наступні два твердження еквівалентні вислову:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) що оцінювач є неупередженим ; і

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) що оцінювач є послідовним .

Обидва ці умови необхідні для того, щоб фільтр був оптимальним - тобто найкращою можливою оцінкою щодо деяких критеріїв. $\mathbf{x}_{k|k}$

Якщо (1) не відповідає дійсності, то середньоквадратична помилка (MSE) буде зміщенням плюс дисперсія (у скалярному випадку). Зрозуміло, що це більше лише дисперсії і, отже, неоптимальне.

Якщо (2) не відповідає дійсності (тобто розрахована фільтром коваріація відрізняється від істинної коваріації), то фільтр також буде неоптимальним. Оскільки коефіцієнт посилення Кальмана базується на обчисленій коваріації стану, помилка коваріації призведе до помилки посилення. Помилка підсилення означає неоптимальне зважування вимірювань.

(Як це буває, обидві умови справедливі для правильно модельованого фільтра. Помилки в моделюванні, такі як динамічна модель або шумове коваріація, також дадуть фільтр неоптимальним).

Джерело: Бар-Шалом , особливо Розділ 5.4 на сторінці 232-233.

— Дамієн
джерело

Важливо зазначити, що НЕ є випадковою змінною. Це детермінований стан системи, який в цілому мінливий в . що еквівалентно вимові $x_k$ $k$

E ({\hat{x}}_{k | k}) = x_{k}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

Також

V a r (x_{k}) = 0

$Var(x_k) = 0$

І,

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$ який, враховуючи, що є детермінованим, також буває рівним

x_{k}

$x_k$

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

Фон

$x_k$ - це стан системи, який є детермінованим. Це на відміну від шуму системи, яка представлена в більшості літератури, з дисперсією . Навіть більше, деякі літератури моделюють системний шум з матрицею коефіцієнтів; у цьому випадку матриця замінюється в оцінці поширення, де - матриця коефіцієнта шуму. Для розробки системне представлення в цьому випадку задається: $w$ $Q$ $Q$ $GQG^T$ $G$

x_{k + 1} = A x_{k} + B u_{k} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

Як навід: сам документ Калмана:http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

— aiao
джерело

Наскільки я знаю, є випадковим процесом. Дисперсія задається шумом процесу. Для даної реалізації є детермінованим.

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

— Рой

@Drazick Шум процесу зазвичай подається символом w, з відхиленням Q. xk - це системний стан, не було б сенсу, що стани є випадковими; інша оцінка, будучи випадковою змінною, має сенс

— Aiao

Я розгублений: як може бути детермінованим, якщо для його формування додається (який є стохастичним)? Єдиний спосіб може бути детермінованим, якщо стохастичний компонент дорівнює нулю, так?

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

G w

$Gw$

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

— Пітер К.

@PeterK. тому що передбачає певну реалізацію в кожному

w

$w$

k

$k$

— aiao

Хоча сам Калман ніколи не вважав вектор стану стохастичною змінною (я думаю, я можу віднести це до Дюсета, але я можу помилятися), фільтр Калмана може бути отриманий з Правила Байєса. У цьому випадку вектор стану . Дивіться Вікіпедію .

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$

— Демієн