Чи є перетворення Лапласа зайвим?

Перетворення Лапласа - це узагальнення перетворення Фур'є, оскільки перетворення Фур'є є перетворенням Лапласа для $s = j\omega$ (тобто $s$ - чисте уявне число = нульова реальна частина $s$ ).

Нагадування:

Перетворення Фур'є: $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

Перетворення Лапласа: $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

Крім того, сигнал може бути точно реконструйований від його перетворення Фур'є, а також перетворення Лапласа.

Оскільки для реконструкції потрібна лише частина трансформації Лапласа (частина, для якої ), решта трансформації Лапласа ( ) видаються непридатними для реконструкції ... $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$

Це правда?

Також чи можна реконструювати сигнал для іншої частини перетворення Лапласа (наприклад, для або )? $\Re(s)=5$ $\Im(s)=9$

А що станеться, якщо ми обчислимо перетворення Лапласа сигналу, змінивши лише одну точку перетворення Лапласа і обчислимо зворотне перетворення: чи повернемося до початкового сигналу?

fourier-transform laplace-transform

— Вінц
джерело

Чому потік? Навіть якщо питання може містити помилкові висновки, це те, що ви дуже добре можете вирішити у коментарі чи відповіді. Мовчки схиляючись із питанням, на яке хтось, мабуть, доклав певних зусиль, не дуже конструктивно.

— Jazzmaniac

я підтримав питання. якщо я маю в виду , з точки зору кутовий частотою

, то я хотів би сказати перетворення Фур'є:

і перетворення Лапласа:

. то цілком зрозуміло, що вони те саме (сорта).

ω

$\omega$

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

X (s) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— robert bristow-johnson

Перетворення Фур'є та Лапласа, очевидно, мають багато спільного. Однак є випадки, коли можна використовувати лише один із них, або де зручніше використовувати те чи інше.

Перш за все, навіть якщо у визначеннях ви просто замінюєте на або навпаки, щоб перейти від одного перетворення до іншого, цього взагалі неможливо зробити, якщо дано перетворення Лапласа або перетворення Фур'є функції. (Я використовую різні індекси, оскільки дві функції можуть бути різними для однієї і тієї ж функції доменного часу). Є функції, для яких існує лише перетворення Лапласа, наприклад, , $s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ , де - крок функції Heaviside. Причина полягає в тому, що інтеграл у визначенні перетворення Лапласа конвергується лише для , що означає, що відповідний інтеграл у визначенні перетворення Фур'є не конвергується, тобто перетворення Фур'є в цьому не існує справа. $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$

$X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

$s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$

$s$

Подивіться також на цю відповідь на пов'язане питання.

— Метт Л.
джерело

Перетворення Фур'є є корисним інструментом для аналізу ідеальних (позапричинних, нестабільних) систем: ви б сказали причинно-наслідкові та стабільні?

— Вінц

@ user17604: Я мав на увазі те, що написав. Звичайно, ви також можете використовувати його для причинних і стабільних (і неідеальних) систем. Але одне важливе використання - це аналіз ідеальної системи (наприклад, ідеальних частотно-селективних фільтрів), де перетворення Лапласа неможливо використовувати.

— Метт Л.

@MattL. Чудова відповідь, але я виявив, що "аналіз систем LTI з ненульовими початковими умовами" заплутаний, як може система LTI мати початкові умови, що не мають нуля?

@ 0MW: Так, я, мабуть, мав би сказати "системи, які інакше є LTI (якщо спочатку в спокої)".

— Метт Л.