Нуль, перший, другий ... Утримуйте n-го порядку

9

Прямокутна функція визначається як:

r e c t (t) = {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & if | t | = \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} . \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \\ \end{cases}$

Трикутна функція визначається як: Це згортання двох однакових одиничних прямокутних функцій: ім'я Утримуйте нульовий порядок і Перший- замовлення утримуйте використання цих функцій. Насправді він має: для утримування нульового порядку, і для утримування першого порядку. З тих пір

tri (t) = {\begin{cases} 1 - | t |, & | t | < 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\operatorname{tri}(t) = \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$

tri (t) = rect (t) * rect (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r e c t (τ) \cdot r e c t (t - τ) d τ

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau$

x_{Z O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) r e c t (t - n)

$x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{rect} \left(t-n\right) \$

x_{F O H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) t r i (t - n)

$x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{tri} \left(t-n\right) \$

tri (t) = rect (t) * rect (t)

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ , я хотів би знати, чи це просто збіг випадків, або якщо для другого порядку утримувати імпульсну відповідь є Чи правда також для загального дотримання порядку? А саме, поставте де імпульсна відповідь -го порядку замовлення, я хотів би знати, чи відповідає імпульсна відповідь

tri (t) * tri (t) = (rect (t) * rect (t)) * (rect (t) * rect (t)) .

$\operatorname{tri}(t)*\operatorname{tri}(t)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)*\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right).$

k

$k$

x_{K - T H} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) g_{k} (t - n)

$x_{\mathrm{K-TH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{g}_k \left(t-n\right) \$

g_{k} (t - n)

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)$

k

$k$

g_{k} (t - n) = (rect (t) * rect (t)) * \dots * (rect (t) * rect (t)),

$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)* \dots * \left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right),$ k разів.

sampling interpolation

— Позначити
джерело

я не бачив посилання на -утримування порядку для . Я б очікував, що це буде функція поєднується з собою разів. але я не знаю, що таке визначення.

k

$k$

k > 1

$k>1$

rect (t)

$\operatorname{rect}(t)$

k - 1

$k-1$

— Роберт Брістоу-Джонсон

1

@ robertbristow-johnson: За аналогією з утримуванням нульового порядку (нульовий порядок інтерполяції, тобто кусочна константа), і утримуванням першого порядку (поліноміальною інтерполяцією першого порядку, тобто кусочно лінійною), утримується n-й порядок є кусковою інтерполяцією поліномом n-го порядку. Він згадується тут (стор. 6).

— Метт Л.

1

Ці та те, що описує @ robertbristow-johnson у своїй відповіді нижче, називаються B-сплайнами.

— Оллі Ніемітало

хтось може показати з матрицею зображення з фактором 2, будь ласка? І мені тут дуже не зрозуміло щодо фактора.

— користувач30462

9

Це не так. Перш за все, утримування другого порядку використовувало б три вибіркові точки для обчислення інтерполяційного полінома, але запропонований імпульсний відгук не дорівнює нулю через інтервал розміру (якщо припустити інтервал вибірки , як це робиться у вашому запитанні). Однак імпульсна відповідь, що відповідає утримуванню другого порядку, повинна мати опору довжиною . $\text{tri}(t)\star\text{tri}(t)$ $4$ $T=1$ $3$

Тепер ви можете припустити, що утримування може мати імпульсну відповідь, яка є згортанням прямокутних функцій. У цьому випадку ви отримаєте правильний розмір підтримки, але, звичайно, це недостатньо. $n^{th}$ $n$

Проведення обчислює детальну інтерполяцію, використовуючи послідовних точок даних. Це аналогічно утриманню нульового порядку з використанням однієї точки даних та утримуванню першого порядку, в якому використовуються дві точки даних. Це визначення зазвичай використовується в літературі (див., Наприклад, тут і тут ). $n^{th}$ $n+1$

Нескладно показати, що поліном другого порядку, що інтерполює три точки даних , , , задається $y[-1]$ $y[0]$ $y[1]$

\begin{matrix} (1) & P (t) = y [- 1] \frac{t (t - 1)}{2} + y [0] (1 - t^{2}) + y [1] \frac{t (t + 1)}{2} \end{matrix}

$P(t)=y[-1]\frac{t(t-1)}{2}+y[0](1-t^2)+y[1]\frac{t(t+1)}{2}\tag{1}$

Для того, щоб знайти імпульсну відповідь, що досягає інтерполяції, заданої , ми повинні зрівняти з виразом $(1)$ $(1)$

\begin{matrix} (2) & y [- 1] h (t + 1) + y [0] h (t) + y [1] h (t - 1) \end{matrix}

$y[-1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t-1)\tag{2}$

Якщо ми виберемо опору імпульсної реакції як інтервал , що еквівалентно вибору інтерполяційного інтервалу , то рівняння та призводить до наступного імпульсу відповідь утримування другого порядку: $h(t)$ $[-1,2]$ $[0,1]$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & h (t) = {\begin{cases} \frac{1}{2} (t + 1) (t + 2), & - 1 < t < 0 \\ 1 - t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{1}{2} (t - 1) (t - 2), & 1 < t < 2 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

$h(t)=\begin{cases}\frac12(t+1)(t+2),&\quad -1<t<0\\ 1-t^2,&\quad0\le t \le 1\\ \frac12 (t-1)(t-2),&\quad 1<t<2\\ 0,&\quad\text{otherwise}\end{cases}\tag{3}$

Імпульсна характеристика утримування другого порядку виглядає так: $(3)$

Я залишаю вам, щоб показати, що цей імпульсний відгук не може бути сформований шляхом з'єднання трьох прямокутних функцій між собою.

— Метт Л.
джерело

Метт, чи можете ви надати посилання на представлення того, що таке утримання другого порядку. я на 100% переконаний, що сюжет неправильний.

— Роберт Брістоу-Джонсон

я виправив рівняння (1) (якщо припущення є правильним). Я залишу це вам, щоб відобразити це в .

h (t)

$h(t)$

— Роберт Брістоу-Джонсон

@ robertbristow-johnson: Я скасував вашу редакцію, тому що ваше "виправлення" було неправильним. Моє рівняння дає , як це має бути; ваш дає . Я залишу це вам для роздумів, чому це неправильно.

P (- 1) = y [- 1]

$P(-1)=y[-1]$

P (- 1) = - y [- 1]

$P(-1)=-y[-1]$

— Метт Л.

я стою виправлений з приводу "виправлення". я втратив підрахунок кількості знаків мінус. (насправді я думав, що яке відключається від знаку мінус. Я трохи більше

(t - 1) = 2

$(t-1)=2$

— озирався

5

тому я вважаю , що утримання -го порядку - це ім'я згорнутесь проти себе разів. $n$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t - T/2}{T} \right)$ $n$

Вікіпедія не є остаточним посиланням на все, але я щось там нюхав. розглянути вибірки та реконструкцію (будь-яка формула Шеннона Віттакера). якщо вихідний смуговий вхід дорівнює а вибірки - що смуговий вхід можна реконструювати з зразків за допомогою $x(t)$ $x[n]\triangleq x(nT)$

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$x(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t - nT}{T} \right)$

який є виходом ідеального фільтру з цегляної стіни з частотною характеристикою:

\begin{aligned} H (f) & = rect (f T) \\ = {\begin{cases} 1 | f | < \frac{1}{2 T} \\ 0 | f | > \frac{1}{2 T} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} H(f) &= \operatorname{rect}(fT) \\ &= \begin{cases} 1 \quad |f| < \frac{1}{2T} \\ 0 \quad |f| > \frac{1}{2T} \\ \end{cases} \end{align}$

коли керується ідеально вибірковою функцією

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (\frac{t - n T}{T}) \\ = x (t) \cdot T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left( \frac{t - nT}{T} \right) \\ & = x(t) \cdot T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t - nT) \\ \end{align}$

тож коли переходить у , то виходить . - фактор необхідний для того , що коефіцієнт посилення в смузі пропускання фільтра реконструкції, представляє собою безрозмірне або 0 дБ. $x_\text{s}(t)$ $H(f)$ $x(t)$ $T$ $H(f)$ $1$

це означає, що імпульсна характеристика цього ідеального фільтру з цегляної стіни є

\begin{aligned} h (t) & = F^{- 1} {H (f)} \\ = \frac{1}{T} sinc (\frac{t}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} h(t) & = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(f) \right\} \\ & = \frac1T \operatorname{sinc}\left( \frac{t}{T} \right) \\ \end{align}$

реконструйований є $x(t)$

x (t) = h (t) ⊛ x_{s} (t)

$x(t) = h(t) \circledast x_\text{s}(t)$

ми точно не можемо усвідомити цей фільтр реконструкції, оскільки він не є причинним. але з достатньою затримкою ми зможемо наблизитися і наблизитись із затримкою причинної . $h(t)$

тепер практичний ЦАП не наближається особливо, але оскільки він просто виводить значення вибірки за період вибірки одразу після вибірки, вихід ЦАП виглядає таким чином $x[n]$

x_{DAC} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left( \frac{t - nT - \tfrac{T}2}{T} \right)$

і його можна моделювати як фільтр з імпульсною реакцією

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac1T \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}2}{T} \right)$

керується тим самим . тому $x_\text{s}(t)$

х_{ЦАП} (т) = {год}_{ZOH} (т) ⊛ х_{с} (т)

$x_\text{DAC}(t) = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t)$

а частотна характеристика фільтра, що мається на увазі, є

\begin{aligned} Н_{ZOH} (f) & = Ж^{- 1} {{год}_{ZOH} (т)} \\ = \frac{1 - е^{j 2 π f Т}}{j 2 π f Т} \\ = е^{j π f Т} sinc (f Т) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ &= \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \\ &= e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$

відзначте постійну затримку напівпроби у цій частотній характеристиці. ось звідки походить затримка Нульового порядку .

Таким чином, хоча ZOH має той самий коефіцієнт посилення постійного струму, що і ідеальна реконструкція цегляної стіни, але не той самий коефіцієнт посилення на інших частотах. крім того, зображення в не повністю збиті, як це було б із цегляною стіною, але вони трохи биті. $x_\text{s}(t)$

так чому, в POV часової області, це? Я думаю, це через розриви в . це не так вже й погано, як сума діраксових імпульсів у , але має перериви стрибків. $x_\text{DAC}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x_\text{DAC}(t)$

як позбутися розривів стрибка? можливо, перетворить їх на розриви першої похідної. і ви робите це за допомогою інтеграції в безперервній часовій області. тому утримування першого порядку - це те, де вихід ЦАП здійснюється через інтегратор з функцією передачі але ми намагаємось скасувати ефекти інтегратора за допомогою диференціатора, виконаного в домен дискретного часу вихід цього дискретного диференціатора часу або Z-перетворення $\frac{1}{j 2 \pi f T}$ $x[n] - x[n-1]$ $X(z) - z^{-1}X(z) = X(z)(1 - z^{-1})$

передавальною функцією цього диференціатора є або, у безперервній області Фур'є, . це змушує перемножувати функцію передачі першого порядку функцією інтегратора безперервного часу, дискретного диференціатора часу та ZOH ЦАП. $(1 - z^{-1})$ $(1 - (e^{j 2 \pi f T})^{-1}) = 1 - (e^{-j 2 \pi f T})$

\begin{aligned} Н_{FOH} (f) & = Ж^{- 1} {{год}_{FOH} (т)} \\ = {(\frac{1 - е^{j 2 π f Т}}{j 2 π f Т})}^{2} \\ = е^{j 2 π f Т} {sinc}^{2} (f Т) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{FOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{FOH}(t) \} \\ &= \left( \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \right)^2 \\ &= e^{j 2 \pi f T} \operatorname{sinc}^2(fT) \\ \end{align}$

імпульсна відповідь на це

\begin{aligned} {год}_{FOH} (т) & = Ж {Н_{FOH} (f)} \\ = (прямої (\frac{т - \frac{Т}{2}}{Т})) ⊛ (прямої (\frac{т - \frac{Т}{2}}{Т})) \\ = \frac{1}{Т} три (\frac{т - Т}{Т}) \end{aligned}

$\begin{align} h_\text{FOH}(t) &= \mathcal{F}\{ H_\text{FOH}(f) \} \\ &= \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \circledast \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \\ &= \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left( \frac{t-T}{T} \right) \\ \end{align}$

Тепер, продовжуючи це далі, утримання другого порядку матиме як безперервну нулю, так і першу похідну. це робиться шляхом повторної інтеграції в домен безперервного часу і намагання компенсувати її в області дискретного часу з іншим диференціатором. що перекидає інший фактор що означає з'єднання з іншим . $e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT)$ $\operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right)$

— Роберт Брістоу-Джонсон
джерело

Це, нарешті, сходиться до імпульсної реакції Гаусса, і я не можу цього зрозуміти. Я твердо переконаний, що утримання n-го порядку - повна аналогія з ZOH та FOH - поліноміальний інтерполятор n-го порядку. Я поділяю цю думку з кількома іншими авторами: наприклад, з цими та з цим . Я не бачив вашої інтерпретації n-го наказу ніде більше.

— Метт Л.

дуже довгий гаусс. відповідь імпульсу утримування -го порядку буде сусідніх ділянок кускових поліномів -го порядку, з'єднаних таким чином, що всі похідні, аж до -й похідної, будуть безперервними. і я думаю, що це причинно. До речі, я ще не закінчив відповідь. сорта вибилася з нього, але я планую зв'язати це все разом. і я

n

$n$

n + 1

$n+1$

n

$n$

(n - 1)

$(n-1)$

— виправлю

2

Інше питання було позначене як дублікат цього. Там його запитали також, що таке полігональне тримання . Це і утримання багатокутника, здається, є синонімами лінійної інтерполяції, де "точки з'єднані", а не висновок, схожий на пилку, як у передбачуваному утриманні першого порядку. З'єднання зразків лініями вимагає заздалегідь знати наступний зразок, щоб лінія могла бути спрямована у правильному напрямку. У контексті систем контролю в режимі реального часу, коли зразки невідомі заздалегідь, це означає, що вихід повинен затримуватися на один період відбору проб для підключення ліній на вибірках.

Поліномальне утримування (не полігональне утримування) включає в себе як затримку нульового порядку, так і перше порядку.

— Оллі Ніемітало
джерело