Чому система LTI не може генерувати жодних нових частот?

9

Чому означає, що система LTI не може генерувати нових частот? $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$
Чому якщо система генерує нові частоти, то це не LTI?

convolution time-frequency

15

Однією з остаточних особливостей систем LTI є те, що вони не можуть генерувати будь-яких нових частот, яких немає в їхніх входах. Зверніть увагу, що в цьому контексті частота стосується сигналів типу $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ або $\cos(\Omega_0 t)$ які мають нескінченну тривалість, і їх також називають власними функціями систем LTI (спеціально лише для складних експоненціалів) і перетворення КТ-Фур'є в КЧ виражаються імпульсними функціями в частотній області як $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ або $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ повторно.

Один із способів зрозуміти, чому це так, - спостерігаючи за CTFT, $Y(\omega)$ , виходу $y(t)$ , яке задається відомим відношенням $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ лише тоді, коли система є LTI (і також фактично стабільна , так що $H(e^{j \omega})$ існує).

(тобто

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$ утримується лише тоді, коли імпульсна відповідь

h (t)

$h(t)$ існує, і воно буде існувати лише тоді, коли система є LTI.)

З невеликої думки, керуючись простим графічним сюжетом та використовуючи властивість множення вище, видно, що частотна область підтримки $R_y$ (набір частот для яких $Y(\omega)$ не нульовий), з виводу $Y(\omega)$ задається перетином областей підтримки $R_x$ і $R_h$ входів $X(\omega)$ і частотна характеристика $H(\omega)$ системи LTI:

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

І з заданої алгебри ми знаємо, що якщо $A = B \cap C$ тоді $A \subset B$ і $A \subset C$ . Тобто перехрестя завжди менше або еквівалентне тому, що перетинаються. Тому регіон підтримки для $Y(\omega)$ буде менше або максимум дорівнює підтримці $X(\omega)$ . Тому на виході нових частот не спостерігається.

Оскільки ця властивість є необхідною умовою існування системи LTI , будь-яка система, яка не має її, не може бути LTI.

— Жир32
джерело

9

Ви можете зробити простий алгебраїчний аргумент, враховуючи викладене вами передумови. Якщо:

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

де $X(\omega)$ - спектр вхідного сигналу і $H(\omega$ ) - частотна характеристика системи, то очевидно, що якщо така є $\omega$ у вхідному сигналі, для якого $X(\omega) = 0$ , тоді $Y(\omega) = 0$ так само; фактора немає $H(\omega)$ що ви можете помножити на отримання ненульового значення.

З урахуванням сказаного, встановлення правдивості передумови, яке я почав з вище для систем LTI, вимагає певної роботи. Однак, якщо вважати це правдою, то той факт, що система LTI не може впроваджувати жодних нових частотних компонентів до свого виходу, безпосередньо випливає.

— Джейсон Р
джерело

доказом було б показати, що для будь-якого досить добре сприйнятого сигналу перетворення Фур'є є зворотним, і FT, і його зворотна лінійна. Кожен сигнал із частотою досить добре сприйнятий.

— Маркус Мюллер

3

Чому? $Y(ω)=X(ω)H(ω)$ означає, що система LTI не може генерувати будь-яких нових частот?

Якщо певної частоти немає у нашому вході, . Оскільки 0 підкоряється мультиплікативній тотожності , . Таким чином, частота відсутня у вихідному сигналі. $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

Чому якщо система генерує нові частоти, то це не LTI?

Скажімо, наш вхід . Тоді якщо припустити, що наша система може генерувати нові частоти, можливо отримати вихід . Оскільки ми не можемо знайти константи такі, що , наша система не є LTI. $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

— Скотт
джерело

Чи не для перевірки LTI використовується тільки c1, а також не c2?

— КОРИСТУВАЧА

1

я б сказав, що перший пункт, який по суті полягає в тому, що ви не можете отримати щось не нульове, помноживши нуль разів на що-небудь, - це стисла відповідь.

— Роберт Брістоу-Джонсон

c1 використовується для лінійності, c2 використовується для зрушення часу. У нас може бути система LTI, яка затримує все на 1 одиницю часу.

— Скотт

1

Система LTI діагоналізована чистими частотами . Синуси / косинуси - це власні вектори лінійної системи. Іншими словами, будь-який єдиний ненульовий синус або косинус (або складний цизоїд) вхід має синусоїдний або косинусний вихід з однаковою частотою (але амплітуда виходу може зникати).

Єдине, що може змінитися - це їх амплітуда або їх фаза. Отже, якщо у вас немає синуса з заданою частотою на вході, ви не отримаєте нічого (нуля) з цією частотою на виході.

На друге запитання відповідає відповідь або регулювання фальси: якщо $A\implies B$ правда, так і є $\overline{B}\implies \overline{A}$ . Якщо система LTI, вона не генерує нових частот. Якщо система генерує нові частоти, це не LTI.

— Лоран Дюваль
джерело