У цій роботі або багаторазовій фільтрації автор встановлює наступні математичні зв’язки. Нехай є висновком даного зразка, таким, що$y_D$

$$y_D[n] = x[Mn]$$

де - коефіцієнт зменшення тиску. Іншими словами, ми зберігаємо кожен -й зразок вихідного сигналу. Потім автор продовжує констатувати наступне:$M$$M$

... z-перетворення задається через$y_D[n]$

$$Y_D[z]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}X[z^{1/M}W^k]$$

де $W^k$ являє собою $M$ - точкове дискретне перетворення Фур'є ядра, а саме $e^{(-j2\pi k)/M}$ .

Як ми можемо перейти від першого виразу до другого? Який взаємозв'язок між DFT та Z-перетворенням, що дозволяє здійснити такий перехід?

Ця деривація є хитрою. Пропонований раніше підхід має вади. Дозвольте спочатку продемонструвати це; тоді я дам правильне рішення.

Ми хочемо співвідносити -трансформацію сигналу, що використовується в типі, Y D ( z ) = Z { x [ M n ] } , Z -трансформату вихідного сигналу X ( z ) = Z { x [ n ] } .$\mathcal{Z}$$Y_D(z) = \mathcal{Z}\{x[Mn]\}$$\mathcal{Z}$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\}$

Невірний шлях

Можна було б подумати про просто включення виразу для сигналу, що подається, у вираз -трансформа:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Зміна змінної видається очевидною:$n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Однак важливо усвідомити, що, хоча новий індекс підсумовування все ще працює від - ∞ до ∞ , тепер сума перевищує 1 з M цілих чисел . Іншими словами,$n'$$-\infty$$\infty$

,$n' \in M\mathbb{Z}=\{...,-2M,-M,0,M,2M,...\}$

тоді як визначення -трансформа вимагає$\mathcal{Z}$

.$n \in \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$

Оскільки це вже не -трансформа, ми не можемо написати:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = X(z^{1/M})$

Правильний шлях

Давайте спершу визначимо сигнал «поїзда-помічника» імпульсного поїзда як:$t_M[n]$

$\begin{align*} t_M[n] & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\delta[n-kM]} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 & : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

Ця функція - на один з кожного М- зразка, а нуль - скрізь.$1$$M$

Еквівалентно функцію поїзда імпульсу можна записати так:

$t_M[n] = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}$

Доведення: нам потрібно розглянути окремо випадки і n ∉ M Z :$n \in M\mathbb{Z}$$n \notin M\mathbb{Z}$

У випадкуn∉MZми використали вираз длякінцевої суми геометричного ряду.

$$\begin{align*} t_M[n] & = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{1} && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-e^{j2\pi k n}}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} M && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-1}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 && : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$$ $n \notin M\mathbb{Z}$

Тепер повернемося до нашої оригінальної проблеми пошуку -трансформи низового зразка:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Застосовуємо підстановку , маючи на увазі, що це змушує підсумовувати лише цілі кратні множини M:$n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Тепер ми можемо використовувати вищевказану функцію поїзду імпульсу, щоб безпечно переписати це як підсумок для всіх :$n \in \mathbb{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{t_M[n] x[n] z^{-n/M}}$

Використовуючи наведене формулювання для функції потягу імпульсів як кінцеву суму експоненцій, отримуємо:

$\begin{align*} Y_D(z) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{(\frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}) x[n] z^{-n/M}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{e^{j2\pi k n / M} x[n] z^{-n/M}}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[n] (e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})^{-n}}} \end{align*}$

$\mathcal{Z}$$z'=e^{-j2\pi k / M} z^{1/M}$

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{X(e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})}$

Це формула для -трансформації спаду-вибірки.$\mathcal{Z}$

$M$

$$y_D[n] = x[Mn]$$

$z$

$$\begin{align} Y_D(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty y_D[n]z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[Mn] z^{-n} \end{align}$$

$n' = Mn$

$$Y_D(z) = \sum_{n'=-\infty}^\infty x[n']z^{-n'/M}$$

$z$$x[n]$

$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}$$

$z$$x[n]$$y_D[n]$

$$Y_D(z) = X\left(z^{1/M}\right)$$

$z$$z$$M$

$Y_D(z)$$z$$z^{1/M}$$z$$Y_D(z)$$z^{1/M}$$M$$z$$X(z)$$z \in \mathbb{C}$$M$$M$

$$\left\{ r_p,\ r_p e^{\frac{j2\pi}{M}},\ r_p e^{\frac{j2\pi2}{M}},\ \ldots\ ,\ r_p e^{\frac{j2\pi(M-1)}{M}} \right\}$$

$$= \left\{ r_p,\ r_p W,\ r_p W^{2},\ \ldots\ ,\ r_p W^{M-1} \right\}$$

$W_k$$e^{j2\pi k / M}$$r_p$$M$$z$

$$r_p = \sqrt[M]{|z|} e^{\frac{j\angle{z}}{M}}$$

$z$$M$$r_p$$z$$M$$z$$z$$M$$r_p$

$Y_D(z)$$X(z^{1/M})$$z$$Y_D(z)$$M$$X(z^{1/M})$$M$$X(z^{1/M})$$Y_D(z)$

$$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} X(r_p(z)W^k)$$

$r_p(z)$$M$$z$$M$$\frac{1}{M}$$z^{1/M}$

$Y_D(z) = f(g(z))$$f(z) = X(z)$$g(z) = z^{1/M}$$Y_D(z)$$z$$Y_D(z)$$\sqrt{X}$$X$