Яка перевага адаптивного IIR-фільтра проти FIR?

Адаптивні фільтри IIR не є простими і можуть бути нестабільними. Багато людей кажуть, що адаптивні фільтри IIR використовують менші коефіцієнти, ніж фільтри FIR. Мені цікаво, скільки коефіцієнтів може зберегти IIR?

Я намагався використовувати адаптивні фільтри IIR для оцінки функції передачі фільтра FIR 32 порядку. Припустимо, фільтр IIR має коефіцієнти : . Я знайшов результат оцінки прийнятним лише тоді, коли , тобто можна зберегти лише 2 коефіцієнти. $M+N+1$ $a_1, a_2, ..., a_M, b_0, b_1, ...b_N$ $M+N+1 \ge 30$

Наприклад, у фактичних проектах, наприклад, 50 МГц FPGA, 32-ти кінцевий FIR призведе до затримки, так $(32 / 50 ~{M}) / 2 = 0.32 ~{\mu s}$

Що буде з IIR?
Чи можуть адаптивні фільтри IIR дійсно зменшити кількість коефіцієнтів і зменшити затримку обробки сигналу?

infinite-impulse-response fir adaptive-filters

— Олександр Чжан
джерело

Зауважте, що типовий FIR на 32 порядку призведе затримки приблизно : домінуючий кран зазвичай знаходиться в центрі фільтра, внаслідок чого затримка становить половину довжини фільтра.

16 / 50 M = 0.32 μ s

$16/50M = 0.32 \mu s$

— Дан Бошен

Так, ви маєте рацію, це затримка 0,32 ми. Дякуємо, що виправили мене.

— Олександр Чжан

Також ви маєте на увазі обмежити своє питання адаптивними фільтрами, чи це загальне питання щодо фільтрів IIR vs FIR (із фіксованими коефіцієнтами, тому не є адаптивним)?

— Дан Бошен

Я також не знайомий з адаптивними фільтрами IIR, але я здивований і трохи скептично ставлюсь до цього, використовуючи 31 адаптивний фільтр IIR-фільтрів, який відповідає 33-кратному фільтру FIR. Зазвичай для отримання порівнянного фільтра знадобиться набагато менше кранів IIR-фільтрів.

— Джим Клей

Я не вірю, що це хороший спосіб порівняння фільтрів. Натомість слід використовувати показники, які базуються на тому, що ви, напевно, насправді намагаєтесь досягти, такі як ослаблення зупинки смуги, пульсація тощо.

— Джим Клей

Це основні відмінності між фільтрами FIR та IIR, щодо функції, якою ви хочете керувати, такі:

\begin{array}{clcr} Feature & IIR & FIR \\ Implementation & Poles & Zeros & Zeros Only \\ States & Yes & No \\ Phase Delay & * & Half Integer \\ Stability & * & Always \\ Ripple & Yes & * \\ Cut-Off & Yes & * \end{array}

$\begin{array}{c|lcr} \text{Feature} & \text{IIR} & \text{FIR} \\ \hline \text{Implementation} & \text{Poles & Zeros} & \text{Zeros Only} \\ \text{States} & \text{Yes} & \text{No} \\ \text{Phase Delay} & \text{*} & \text{Half Integer} \\ \text{Stability} & \text{*} & \text{Always} \\ \text{Ripple} & \text{Yes} & \text{*} \\ \text{Cut-Off} & \text{Yes} & \text{*} \\ \end{array}$

* Вказує на те, що функцію можна керувати, додаючи замовлення у більшості випадків.

Стандартні визначення фільтрів FIR та IIR:

FIR:

H (z) = b_{0} z^{0} + . . . + b_{n} z^{n}

$H(z)=b_0z^0+...+b_nz^n$

y (t) = b_{0} u (t) + . . . + b_{n} u (t - n)

$y(t)=b_0u(t)+...+b_nu(t-n)$

IIR:

H (z) = \frac{b_{0} + b_{1} z^{1} + . . . + b_{n} z^{n}}{1 + a_{1} z^{1} + . . . + a_{n} z^{n}}

$H(z)=\frac{b_0+b_1z^1+...+b_nz^n}{1+a_1z^1+...+a_nz^n}$

y (t) = b_{0} u (t) + . . . + b_{n} u (t - n) - a_{1} y (t - 1) - . . . - a_{n} y (t - n)

$y(t)=b_0u(t)+...+b_nu(t-n)-a_1y(t-1)-...-a_ny(t-n)$

$u$ є вхід, $y$ є вихід, $x$ є держави (нижче), $t$ - час, масштабований часом вибірки $dt$ , $n$ - кількість замовлень фільтра. Кожен фільтр має $n$ коефіцієнти розміру, плюс постійний термін прямого виходу $b_0$ (необов’язково) та $a_0$ = 1. Для простоти припустимо $\sum{b_i}=1$ і $\sum{a_i}=1$ , хоча цього ніде не потрібно.

Впровадження . За визначенням, FIR включає лише нулі, що веде до лінійної системи у векторі історії для $u$ : $[u(t-1)...u(t-n)]$ .

IIR включають як полюси, так і нулі, що також веде до лінійної системи у векторі історії не тільки для $u$ , Крім $y$ теж. Через це, з одного боку, IIR може бути нестабільним; але з іншого боку, вони можуть бути розроблені таким чином, щоб мати плавні пульсації та різкі відсічки з незначною кількістю замовлень.

Штати . FIR - це статичні системи у векторах історії, тобто фільтр не динамічний, не має станів, не є рекурсивним, немає зворотного зв'язку. IIR - це динамічні системи у векторах історії, тобто фільтри мають стани, є рекурсивними, мають зворотний зв'язок, отже, мають "пам'ять" з минулих входів та виходів.

Фазова затримка . затримки фази $\tau_\phi$

y (t) = y_{0} (t - τ_{t}) s i n (ω (t - τ_{ϕ}) + θ)

$y(t)=y_0(t-\tau_t) sin(\omega(t-\tau_\phi)+\theta)$

може бути легко керований у реалізаціях FIR. Якщо $b_k=b_{n-k}$ , $k=0...n$ , затримка фази постійна, дорівнює $n/2$ (центр форми коефіцієнтів FIR, його імпульсна характеристика), що дорівнює груповій затримці, і таким чином фільтр стає лінійною фазою , фаза дорівнює $\omega\tau_phi$ .

Оскільки IIR мають нескінченну імпульсну характеристику, вони можуть бути мінімальною фазою замість лінійної фази, хоча досягнута фаза може бути набагато меншою, ніж фаза FIR для тієї ж кількості порядків.

Стабільність . FIR завжди стабільні, IIR може бути розроблений таким, щоб бути стабільним, якщо потрібна стабільність.

Пульсація . IIR може бути розроблений таким, що має плоскі пульсації, як у прохідній смузі | стоп-смузі | так і в обох (маслянистий | чебишев | еліптичний), FIR вимагає великого (схильного до "нескінченності") кількості замовлень, щоб прирівняти цю властивість.

Відсікання . IIR може бути розроблений таким чином, щоб мати різкі смуги перерізу або вузького переходу, для FIR потрібно велике (як правило, "нескінченне") кількість замовлень, щоб прирівняти цю властивість.

Пов'язані статті:

https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-341-discrete-time-signal-processing-fall-2005/lecture-notes/lec08.pdf https: // www .quora.com / Чому-FIR-фільтри-переважні-над-IIR-фільтрами http://iowahills.com/A8FirIirDifferences.html http://forums.prosoundweb.com/index.php?topic=2045.0 http: //www.vyssotski.ch/BasicsOfInstrumentation/SpikeSorting/Design_of_FIR_Filters.pdf

— Brethlosze
джерело