Прокладка з нульовою частотою домену частоти - спеціальна обробка X [N / 2]

Припустимо, ми хочемо інтерполювати періодичний сигнал з парною кількістю вибірок (наприклад, N = 8) шляхом нульового прокладки в частотній області.

Нехай DFT X=[A,B,C,D,E,F,G,H]
Тепер давайте накладемо його на 16 зразків Y. У кожному прикладі підручника та онлайн-підручнику я бачив вставки нулів при наданні . (Тоді інтерпольований сигнал.)[Y₄...Y₁₁]
Y=[2A,2B,2C,2D,0,0,0,0,0,0,0,0,2E,2F,2G,2H]
y = idft(Y)

Чому б замість цього не використовувати Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E,2F,2G,2H]?

Наскільки я можу сказати (мої знання з математики обмежені):

Це мінімізує загальну потужність
Це гарантує, що якщо xце реально оцінено, то так і єy
yяк і раніше перетинається xу всіх точках вибірки (я думаю, це справедливо для будь-якого pмісця Y=[2A,2B,2C,2D,pE,0,0,0,0,0,0,0,(2-p)E,2F,2G,2H])

То чому ж це ніколи не робиться так?

Редагування : xне обов'язково має реальну цінність або обмежується діапазоном.

dft interpolation zero-padding

— finnw
джерело

Ви пишете "Кожен приклад підручника та онлайн-підручник. Я бачив вставки нулів на ...", чи можете ви оновити свою публікацію деякими посиланнями? Цікаво, тому що ви також пишете, що x не обов'язково має значення в реальному значенні, і перша конструкція, яку ви згадуєте, не дає (взагалі) реального результату шляхом оберненого DFT.

— niaren

@niaren ось один приклад: dspguru.com/dsp/howtos/…

— finnw

Варто зазначити, що для того, щоб

було реально оцінено, тоді вам потрібно дозволити

y

$y$

Y = [2 A, 2 B, 2 C, 2 D, E, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, E^{*}, 2 F, 2 G, 2 H]

$Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,2F,2G,2H]$ (тобто, коли ви дублюєте E для половини вектора частотної області, вам потрібно поєднати його. Сигнали, які є реальними в часовій області, мають сполучені-симетричні DFT.

— Jason R

@ Джейсон R, якщо вхідний сигнал має значення в реальному значенні, то E так [2A, 2B, 2C, 2D, E, 0,0,0,0,0,0,0, E, 2F, 2G, 2H] задовольняє цій умові. Якщо вхід не є реальним, тоді не потрібно змушувати вихід реально оцінювати.

— finnw

Ви праві. Ось що я отримую для написання коментаря надто пізно ввечері.

— Джейсон R

Відповіді:

Давайте подивимось на частоти бункерів у вашому 8-бальному DFT:

Отже, коли ви інтерполюєте коефіцієнт 2 ,частотаточкистаєабо.

\begin{matrix} ω_{A} = 0, \\ ω_{B} = π / 4, \\ ω_{C} = π / 2, \\ ω_{D} = 3 π / 4, \\ ω_{E} = π = - π (m o d 2 π), \\ ω_{F} = 5 π / 4 = - 3 π / 4 (m o d 2 π), \\ ω_{G} = 3 π / 2 = - π / 2 (m o d 2 π), \\ ω_{H} = 7 π / 4 = - π / 4 (m o d 2 π) \end{matrix}

$\begin{array}{c} \omega_A = 0,\\ \omega_B = \pi/4,\\ \omega_C = \pi/2,\\ \omega_D = 3\pi/4,\\ \omega_E = \pi = -\pi\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_F = 5\pi/4 = -3\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_G = 3\pi/2 = -\pi/2\ ({\tt mod}\ 2\pi), \\ \omega_H = 7\pi/4 = -\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi) \end{array}$

E

$E$

- π

$-\pi$

+ π

$+ \pi$

На перший погляд, я не бачу, у чому полягає проблема у вашому підході, оскільки незрозуміло, чи слід класти у кошик, пов'язаний з або . $E$ $\pi$ $-\pi$

На сторінці Джуліус О. Сміт III він зазначає умову:

Крім того, нам потрібно коли парне, а непарне не вимагає такого обмеження. $x(N/2) = x(-N/2) = 0$ $N$

І його приклад є для непарного , що дозволяє уникнути проблеми. $N$

Не впевнений, що потрібно, але ось повна посилання на роботу Юлія:

Сміт, Дж. О. Математика дискретної трансформації Фур'є (DFT) з аудіо-додатками, друге видання, http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/ , 2007 р., Онлайн-книга, доступ до якої відбувся 28 вересня 2011 року.

— Петро К.
джерело

Існує багато способів інтерполяції даних. Інтерполяція в моєму розумінні означає, що ви 'малюєте' лінії між деякими точками даних. Це можна зробити багатьма способами. Одним з типів інтерполяції, який корисний у DSP (особливо при багатосторонньому DSP), є "Bandlimited interpolation". Якщо ви перейдете на Google, ви отримаєте багато цікавих і корисних хітів. Що ви пропонуєте, це не обмежена інтерполяція. У своєму 'upsampled' x у вас частотні компоненти, відсутні в оригіналі x.

Редагувати (занадто довго, щоб вписатись у коментар):

$X=[A,B,C,D,E,F,G,H]$

Враховуючи реальний вклад

$X=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

$x_0,0,x_1,0,...$ $0-\pi/2$ $\pi/2 - \pi$

$X2=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*,A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

$\pi/2$

$y_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x2_k sinc(0.5n - k)$

На практиці, хоча буде певне викривлення, оскільки цегляний стіновий фільтр не є реалістичним. Практичний фільтр може придушувати / видаляти частоти на вході, або він може залишати в деяких із частотних компонентів зображення зображення в підвищеному зразку сигналу. Або фільтр може зробити компроміс між ними. Я думаю, що ваша побудова частотної області також відображає цей компроміс. Ці два приклади представляють два різні варіанти:

$Y=[A,B,C,D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,D^*,C^*,B^*]$

$Y=[A,B,C,D,0,0,0,0,0,0,0,0,0,D^*,C^*,B^*]$

Якщо введення обмежено смугою частот нижче частоти найквістів, як у вашій посилання, ця проблема зникає.

$\rho$

$Y=[A,B,C,D,\rho,0,0,0,0,0,0,0,\rho^*,D^*,C^*,B^*]$

— ніарен
джерело

x

$x$

@leftaroundabout Оригінальний x обмежений у діапазоні (у цьому прикладі до частоти Найквіста). ОП хоче збільшити вибірку x на коефіцієнт 2 (моя інтерпретація). Один із способів збільшити вибірку x - це вставити нулі в частотну характеристику, як показано в ОП (приклад без E, той, який показано в текстових книгах DSP) і зробити зворотний FFT. Я вважаю, що те ж саме можна було досягти, вставивши нулі (переплетені) у x та (low-pass) фільтр sinc. Вставляючи Е, як показано в ОП, збільшений зразок x не обмежується вихідною частотою Найквіста. Зазвичай це не бажано (це спотворення). Ви згодні?

— niaren

E

$E$

\frac{π}{2} \sim \frac{- π}{2}

$\frac\pi2\sim\frac{-\pi}2$

Я припускаю, що частота ± N / 2 присутня в x. Якщо це не так (через обмеження смуги чи інше), то E все одно буде 0, тому різниці між набиванням E (або 2E) і padding з 0. не буде

— різниці

Діапазонний сигнал все ще може містити вміст у бункері N / 2 через "спектральний витік" з будь-якого спектрального вмісту діафрагми неперіодичного в DFT, особливо поблизу (але не при) Fs / 2.

— hotpaw2