Яка різниця між різницею Гаусса, Лапласа Гаусса та мексиканського капелюха Вейлета?

У резюме використовуються три методи, які здаються дуже схожими один на одного, але з тонкими відмінностями:

• Лаплаціан Гаусса: $\nabla^2\left[g(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
• Різниця гауссів: $\left[g_1(x,y,t)\ast f(x,y)\right] - \left[g_2(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
• Зведення з вейвлетом Рікера : $\textrm{Ricker}(x,y,t)\ast f(x,y)$

Наскільки я це зараз розумію: DoG - це наближення LoG. Обидва використовуються при виявленні крапок, і обидва по суті виконують функції смугових фільтрів. Здається, що мексиканська вейкет Hat / Ricker, як видається, досягає такого ж ефекту.

Я застосував усі три методи до імпульсного сигналу (з необхідним масштабуванням, щоб отримати величини схожими), і результати досить близькі. Насправді LoG та Ricker виглядають майже однаково. Єдина реальна різниця, яку я помітив, - це у DoG, у мене було 2 вільних параметра, щоб настроїти ( і σ 1 ) проти 1 для LoG та Ricker. Я також виявив, що вейвлет був найпростішим / найшвидшим, оскільки це можна було зробити за допомогою однієї згортки (зробленої шляхом множення в просторі Фур’є з FT ядра) vs 2 для DoG, а згортання плюс лаплаціан для LoG. $\sigma_1$$\sigma_1$

• Які порівняльні переваги / недоліки кожної техніки?
• Чи існують різні випадки використання, коли одне перекреслює іншого?

Я також маю інтуїтивну думку, що на дискретних зразках LoG та Ricker вироджуються до однієї операції, оскільки може бути реалізований як ядро [ - 1 , 2 , - 1$\nabla^2$ .

$$\begin{bmatrix}-1,& 2,& -1\end{bmatrix}\quad\text{or}\quad\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\quad\text{for 2D images}$$

Застосування цієї операції до гаусса породжує вейкет Ricker / Hat. Крім того, оскільки LoG і DoG пов'язані з рівнянням дифузії тепла, я вважаю, що я можу змусити обидва збігатися з достатньою кількістю параметрів.

(Я все ще мочу ногами від цього матеріалу, щоб вільно виправити / уточнити щось із цього!)

Лаплас Гаусса

Зображення Лапласа Гаусса (LoG) можна записати як$f$

$$\nabla^2 (f * g) = f * \nabla^2 g$$

з ядра Гаусса і ∗ згортка. Тобто, Лаплас зображення, згладжений ядром Гаусса, ідентичний зображенню, складеному з ядром Лапласа Гауссова. Цю згортку можна додатково розширити, у випадку 2D, як$g$$*$

$$f * \nabla^2 g = f * \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}g+\frac{\partial^2}{\partial y^2}g\right) = f * \frac{\partial^2}{\partial x^2}g + f * \frac{\partial^2}{\partial y^2}g$$

Таким чином, можна обчислити його як додавання двох згортків вхідного зображення з другими похідними ядра Гаусса (у 3D це 3 згортки тощо). Це цікаво тим, що ядро ​​Гаусса є роздільним, як і його похідні. Це є,

$$f(x,y) * g(x,y) = f(x,y) * \left( g(x) * g(y) \right) = \left( f(x,y) * g(x) \right) * g(y)$$

Це означає, що замість 2D згортки ми можемо обчислити те саме, використовуючи два 1D згортки. Це економить багато обчислень. Для найменшого тонкого гауссового ядра у вас буде 5 зразків у кожному вимірі. Для двовимірної згортки потрібно 25 множень та доповнень, двох 1D згортків потрібно 10. Чим більше ядро, чи більше розмірів у зображенні, тим значнішими є ці обчислювальні заощадження.

Таким чином, LoG можна обчислити, використовуючи чотири 1D згортки. Однак саме ядро ​​LoG не можна розділити.

$\nabla^2$

Оператор вейкетів або мексиканських капелюхів Ricker ідентичний LoG, аж до масштабування та нормалізації .

Різниця гауссів

$f$

$$f * g_{(1)} - f * g_{(2)} = f * (g_{(1)} - g_{(2)})$$

Так, як і у LoG, DoG можна розглядати як єдину нероздільну 2D згортку або суму (різницю в цьому випадку) двох відокремлених згортків. Бачачи це таким чином, схоже, що немає жодних обчислювальних переваг використання DoG над LoG. Однак DoG - це регульований смуговий фільтр, LoG не може бути налаштований таким же чином, і його слід сприймати як похідний оператор. DoG також природним чином з'являється в масштабі простору, де зображення фільтрується в багатьох масштабах (гауссі з різними сигмами), різниця між наступними масштабами - це DoG.

Існує наближення до ядра DoG, яке можна розділити, зменшуючи обчислювальні витрати вдвічі, хоча це наближення не є ізотропним, що призводить до обертової залежності фільтра.

Я колись показав (для себе) еквівалентність LoG і DoG, для DoG, де різниця в сигмах між двома ядрами Гаусса нескінченно мала (аж до масштабування). У мене немає записів про це, але це було не важко показати.

Інші форми обчислення цих фільтрів

Відповідь Лорана згадує рекурсивну фільтрацію, а ОП згадує обчислення в області Фур'є. Ці поняття стосуються як LoG, так і DoG.

Гаусові і його похідні можуть бути обчислені з використанням рекурсивного фільтра причино-анти-причинного. Отже всі згадані вище згортки 1D можна застосовувати в постійному часі сигми. Зауважте, що це ефективно лише для великих сигм.

Аналогічно, будь-яка згортання може бути обчислена в області Фур'є, тому ядра DoG і LoG 2D можуть бути перетворені в домен Фур'є (а точніше - обчислені там) і застосовані шляхом множення.

На закінчення

Немає суттєвих відмінностей у складності обчислень цих двох підходів. Я ще не знаходжу вагомих причин, щоб наблизити логотип за допомогою DoG.

Вейвлет Рікера, (ізотропний) вейвлет Марра, мексиканська шапка або лаплакійський гауссів належать до тієї ж концепції: безперервні допустимі вейвлети (що відповідають певним умовам). Традиційно вейвлет Ricker - це 1D версія. Вейвлет Марра або мексиканський капелюх - це імена, наведені в контексті 2D-розкладу зображень, ви можете розглянути, наприклад, Розділ 2.2 Панорами на багатомасштабні геометричні зображення, переплітаючи просторову, спрямовану та частотну селективність , Обробка сигналів, 2011, Л. Жак та ін ін. Лаплаціан Гаусса - багатовимірне узагальнення.

Однак на практиці люди приймають різні типи дискретизацій, на різних рівнях.

$3\times 3$$3\times 3$

$$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ \end{pmatrix}$$ $5\times 5$

$\sigma_1$$\sigma_2$

Але використовуються інші співвідношення, наприклад, у деяких лаплакійських пірамідах, які перетворюють DoG в більш загальні смугові фільтри або крайові детектори.

Остання посилання: Збіг зображень за допомогою узагальнених точок масштабу-простору , Т. Ліндеберг, 2015.