Коли інтерполяція кубічної сплайну краще, ніж інтерполяційний поліном?

Наступний сюжет - це незначна зміна прикладу в підручнику. Автор використав цей приклад, щоб проілюструвати, що інтерполюючий многочлен над однаково розташованими зразками має великі коливання біля кінців інтерполяційного інтервалу. Звичайно, інтерполяція кубічного сплайна дає хороший наближення протягом усього інтервалу. Протягом багатьох років я вважав, що слід уникати поліноміальної інтерполяції високого порядку над однаково розташованими зразками з причини, проілюстрованої тут.

Однак я нещодавно знайшов багато прикладів смугових сигналів, де інтерполяційний поліном високого порядку дає меншу похибку апроксимації, ніж інтерполяція кубічної сплайни. Зазвичай інтерполяційний поліном є більш точним протягом усього інтерполяційного інтервалу, коли швидкість вибірки є достатньо високою. Це, мабуть, має місце, коли зразки однаково розташовані зі швидкістю вибірки принаймні в 3 рази більшою, ніж частота сигналу Найквіста. Крім того, перевага перед інтерполяцією в кубічній сплайні покращується у міру збільшення швидкості вибірки / частоти Найквіста.

Як приклад, я порівнюю кубічно-сплайн-інтерполяцію з інтерполяційним поліномом для синусоїди з частотою Найквіста 2 Гц і частотою вибірки 6,5 Гц. Між точками вибірки інтерполяційний поліном виглядає точно так само, як і фактичний сигнал.

Нижче я порівнюю помилку в двох наближеннях. Як і у першому прикладі, поліноміальна інтерполяція є найгіршою біля початку та кінця інтервалу вибірки. Однак інтерполяційний поліном має меншу помилку, ніж кубічний сплайн протягом усього інтервалу вибірки. Інтерполяційний поліном також має меншу помилку при екстраполяції через невеликий інтервал. Чи виявив я відомий факт? Якщо так, то де я можу прочитати про це?

Явище, про яке йде мова, - явище Рунге .

Максимальне абсолютне значення ї похідної - . Для функції Runge максимальне абсолютне значення ї (парної) похідної становить депозначає факторіальний. Це набагато швидше зростання. Тільки якщо похідні зростають занадто швидко, збільшуючи , тоді можливо, що помилка інтерполяції розходиться по мірі збільшення порядку інтерполяції. Експоненціал в ще не надто швидкий. Погляньте на: Джеймс Ф. Епперсон, На прикладі Рунге , Американський математичний щомісячник , т. 94, 1987, с. 329-341.$n$$\sin(\omega t)$$\omega^n$ $\frac{1}{25t^2+1}$$n$$5^nn!,$$n!$$n$$n$

Якщо функція має лише безперервні похідні, то конкуруючий підхід, фрагментарна поліпомічна сплайнова інтерполяція завжди конвергується, якщо невелика фіксована кількість її ранніх похідних обмежена через інтервал інтересу, див. У статті Вікіпедії про лінійну інтерполяцію як приклад.

Якщо обидва способи сходяться, то (без кусочків) поліноміальна інтерполяція має перевагу більш високої ступеня полінома, якщо використовується багато зразків, і може забезпечити кращу апроксимацію, як ви бачили у своєму синусовому прикладі. Можливо, вас також зацікавить Л. Н. Трефетен, Два результати про поліноміальну інтерполяцію в однаково розташованих точках , Журнал теорії наближення, том 65, випуск 3, червень 1991, Сторінки 247-260. Цитата:

[...] у обмеженій смугою інтерполяції складних експоненціальних функцій похибка зменшується до як тоді і тільки якщо досить малий, щоб забезпечити принаймні шість точок на довжину хвилі.$e^{i\alpha x}\, (\alpha \in \mathbb{R}),$$0$$n \to \infty$$\alpha$

У вас 6,5 проб на довжину хвилі.