Особистість трансформації Фур'є

9

Ми знаємо нижче,

\begin{matrix} (1) & F {x (t)} = X (f) \end{matrix}

$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & F {x (- t)} = X (- f) \end{matrix}

$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$

\begin{matrix} (3) & F {x^{*} (t)} = X^{*} (- f) \end{matrix}

$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$

Тепер, якщо за якийсь сигнал

\begin{matrix} (4) & x (- t) = x^{*} (t) \end{matrix}

$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$

Тоді, чи безпечно припустити таке?

\begin{matrix} (5) & X (- f) = X^{*} (- f) \end{matrix}

$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$

чи це залежить від типу сигналу?

fourier-transform continuous-signals

— сундар
джерело

Ви все ще можете підтвердити найбільш відповідну відповідь

— Лоран Дюваль

13

Ви праві. Ваше останнє рівняння - це просто фантазійний спосіб сказати, що справжня цінність. $X(f)$

Взагалі: якщо це дійсно в одній області, то вона поєднана симетрично в іншій.

— Гільмар
джерело

8

Так, якщо еквіваленти (2) і (3) утримують будь-який "тип сигналу" (який вони роблять), тоді (5) повинен утримувати.

Вставляючи (4) у (2), отримуємо і використовуючи (3)

F {x^{*} (t)} = X (- f)

$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$

X (- f) = X^{*} (- f)

$X(-f) = X^*(-f)$

Якщо ми підставимо то отримаємо що, як уже зауважив Гільмар , означає, що є реальним значенням. Цього можна очікувати, оскільки, згідно з (4), демонструє сполучену складну симетрію . $f = - g$

X (g) = X^{*} (g)

$X(g) = X^*(g)$

X (f)

$X(f)$

x (t)

$x(t)$

— Deve
джерело

7

Відповіді @Deve та @Hilmar технічно досконалі. Я хотів би надати кілька додаткових відомостей з кількома питаннями.

По-перше, чи знаєте ви про сигнал, що задовольняє цій ідентичності зворотного часу / спряженого :

x (- t) = x^{*} (t) ?

$x(−t)=x^*(t)\,?$

Перша очевидна ідея - вибрати серед реальних та симетричних сигналів. Природним у рамках Фур'є є косинус .

Тепер давайте трохи складніше (каламбур).

Отже, друге, що з справжнім синусом ? Він антисиметричний. Але якщо ви пам’ятаєте, що , то функція також стає рішенням. Отже, по адитивності функція $i^*=-i$ $t\to i.\sin t$

t \to e^{i t}

$t\to e^{i t}$

(називається складним експонентним або цизоїдним ) також є рішенням . І його перетворення Фур'є (як узагальнена функція) справді реально (хоч якось "нескінченне"). Подальше, будь-яка лінійна комбінація цизоїдів з реальними коефіцієнтами це зробить.

Ваше запитання ілюструє, наскільки важливість подвійності Фур'є та як його використання може спростити деякі проблеми. Як видно з СИМЕТРЕТІЇ DTFT ДЛЯ РЕАЛЬНИХ СИГНАЛІВ :

Іншими словами, якщо сигнал справжній, то його спектр є ермітовим (`` сполучена симетрична ''). $x(n)$

Тут ваш базовий сигнал - ермітичний, а версія Фур'є - реальна. Отже, щоб зрозуміти це краще, просто уявіть, що - частотна змінна, а - час подвійний. Стандартне представлення представлено в цифровому аналізі геофізичних властивостей сигналів і хвиль / комплексної симетрії . $x$ $t$ $f$

Його також називають Гейзер-штопор / спіраль .

— Лоран Дюваль
джерело