Що означає "імпульсна характеристика" та "частотна характеристика" системи? "

71

Чи може хтось констатувати різницю між частотною характеристикою та імпульсною характеристикою простою англійською?

134

Імпульсна і частотна характеристика два атрибути, які корисні для характеристики лінійних стаціонарних (LTI) системи. Вони забезпечують два різні способи розрахунку, яким буде вихід системи LTI для заданого вхідного сигналу. Система LTI безперервного часу зазвичай ілюструється так:

Системна схема LTI

Загалом система відображає вхідний сигнал на відповідний вихідний сигнал . Існує багато типів систем LTI, які можуть застосовувати дуже різні перетворення до сигналів, що проходять через них. Але всі вони мають дві ключові характеристики: $H$ $x(t)$ $y(t)$

Система лінійна , тому вона підкоряється принципу суперпозиції . Якщо говорити просто, якщо лінійно поєднувати два сигнали та вводити їх у систему, вихід є такою ж лінійною комбінацією, як і виходи, якби сигнали проходили окремо. Тобто, якщо відображає до виходу і відображається на виході , то для всіх значень і , $x_1(t)$ $y_1(t)$ $x_2(t)$ $y_2(t)$ $a_1$ $a_2$

H {a_{1} x_{1} (t) + a_{2} x_{2} (t)} = a_{1} y_{1} (t) + a_{2} y_{2} (t)

$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$

Система інваріантна за часом , тому її характеристики не змінюються з часом. Якщо ви додаєте затримку до вхідного сигналу, ви просто додаєте ту саму затримку до виходу. Для вхідного сигналу який відображає вихідний сигнал , тоді для всіх значень , $x(t)$ $y(t)$ $\tau$

H {x (t - τ)} = y (t - τ)

$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$

Системи LTI дискретного часу мають однакові властивості; позначення відрізняються через різницю дискретних проти безперервних, але вони дуже схожі. Ці характеристики дозволяють охарактеризувати функціонування системи прямо, використовуючи її імпульсні та частотні відповіді. Вони надають дві точки зору на систему, які можна використовувати в різних контекстах.

Імпульсна відповідь:

$\delta(t)$ $\delta[n]$ $h(t)$ $h[n]$

Чому це корисно? Це дозволяє нам передбачити, як буде виглядати вихід системи у часовій області. Пам'ятайте згадані вище властивості лінійності та інваріантності часу? Якщо ми можемо розкласти вхідний сигнал системи на суму групи компонентів, тоді вихід дорівнює сумі системних виходів для кожного з цих компонентів. Що робити, якби ми могли розкласти наш вхідний сигнал на суму масштабованих та зміщених у часі імпульсів? Тоді вихід буде дорівнює сумі копій імпульсної відповіді, масштабованій та зміщеній за часом однаковим чином.

$x[n]$

x [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} x [k] δ [n - k]

$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$

$x[n]$ $x[n]$ $y[n]$

y [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} x [k] h [n - k]

$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$

$h[n]$ $x[n]$ $y[n]$

Для систем безперервного часу вищевказане прямолінійне розкладання неможливо в суворому математичному сенсі (дельта Дірака має нульову ширину і нескінченну висоту), але на інженерному рівні це приблизний, інтуїтивний спосіб розгляду проблеми. Аналогічна теорема згортання справедлива для цих систем:

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$

$h(t)$ $L^2$ $L^2$

Підводячи підсумок: І для дискретних, і для систем безперервного часу імпульсна характеристика є корисною, оскільки дозволяє обчислити вихід цих систем для будь-якого вхідного сигналу; вихід - це просто вхідний сигнал, що складається з функцією імпульсного відгуку.

Частотна характеристика:

Частотна характеристика системи LTI забезпечує аналогічну функцію: вона дозволяє обчислити вплив, який система матиме на вхідний сигнал, за винятком тих ефектів, які проілюстровані в частотній області . Нагадаємо визначення перетворення Фур'є :

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$

Що важливіше заради цієї ілюстрації, подивіться на її зворотне:

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) e^{j 2 π f t} d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$

$x(t)$ $x(t)$ $X(f)$ $f$ $f$ у вищезгаданій лінійній комбінації. Ці фактори масштабування, як правило, є складними числами. Один із способів перегляду складних чисел полягає в амплітудно-фазовому форматі, тобто:

X (f) = A (f) e^{j ϕ (f)}

$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$

$x(t)$ $A(f)$ $\phi(f)$ $x(t)$

Ось, де стає краще: експоненціальні функції - це власні функції лінійних інваріантних систем. Ідея така, як і власні вектори в лінійній алгебрі, якщо ви помістите експоненціальну функцію в систему LTI, ви отримаєте ту саму експоненціальну функцію, масштабовану на (як правило, комплексне) значення. Це впливає на зміну амплітуди та фази експоненціальної функції, яку ви вводите.

$x(t)$ $x(t)$ $X(f)$ $H$ $Y(f)$

Y (f) = H (f) X (f) = A (f) e^{j ϕ (f)} X (f)

$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$

$H(f)$ $X(f)$ $X(f)$ $A(f)$ $\phi(f)$

Об’єднання їх:

Імпульсна характеристика та частотна характеристика системи LTI тісно пов'язані. Частотна характеристика - це просто перетворення Фур'є на імпульсну відповідь системи (щоб дізнатися, чому це співвідношення, див. Відповіді на це інше питання ). Отже, для системи безперервного часу:

H (f) = \int_{- \infty}^{\infty} h (t) e^{- j 2 π f t} d t

$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$

Отже, враховуючи імпульсну характеристику системи або її частотну характеристику, ви можете обчислити інше. Або одного достатньо, щоб повністю охарактеризувати поведінку системи; імпульсна характеристика корисна при роботі в часовій області, а частотна характеристика є корисною при аналізі поведінки в частотній області.

— Джейсон Р
джерело

14

будь-яким способом проголосувати 1000 разів? Найкраща відповідь .. Але вибачте, як ТАК обмеження, я можу дати лише +1 та прийняти відповідь! :) дуже дякую. . .

— Мураха

8

ДИВОВИЖНИЙ! Так набагато краще, ніж будь-який підручник, який я можу знайти!

— Jase

1

приємна відповідь! :)

— jarryd

+1 і моє найглибше вдячність за те, що я це очистив. :)

— кододій

1

@heltonbiker Ні, крокова відповідь є зайвою. Або імпульсної відповіді, або частотної характеристики є достатньою для повного характеристики системи LTI. Для випадку дискретного часу зауважте, що ви можете записати крок функції як нескінченну суму імпульсів. Через властивість лінійності системи крок відповіді - це лише нескінченна сума належних затримок імпульсних відповідей.

— Джейсон R

13

Колись різко натисніть на щось і намітьте, як воно реагує у часовій області (як у осцилографа чи плоттера). Це буде близько до імпульсної реакції.

Отримайте генератор тонів і вібруйте щось із різною частотою. Деякі резонансні частоти він посилить. Інші на це можуть взагалі не реагувати. Накресліть розмір та фазу відповіді щодо частоти введення. Це буде близьким до частотної характеристики.

Для певних загальних класів систем (де система не сильно змінюється з часом, і будь-яка нелінійність є достатньо малою, щоб ігнорувати відповідну мету), два відповіді пов'язані між собою, і може бути застосована трансформація Лапласа або Фур'є наблизити відносини.

— гаряча лапа2
джерело

10

Імпульсна реакція - це реакція системи на один імпульс нескінченно малої тривалості та одиничної енергії (імпульс Дірака). Частотна характеристика показує, наскільки кожна частота ослаблена або посилена системою.

Частотна характеристика системи - це імпульсна характеристика, перетворена в частотну область. Якщо у вас є імпульсна відповідь, ви можете використовувати FFT, щоб знайти частотну характеристику, а ви можете використовувати зворотний FFT для переходу від частотної характеристики до імпульсної відповіді.

— Хань
джерело

6

Можливо, варто зазначити, що це стосується лише лінійних та інваріантних систем

— Пол Р

6

Незабаром у нас є два види основних відповідей: часові відповіді та частотні відповіді . Часові відгуки перевіряють, як система працює з миттєвим порушенням, а частотна характеристика - з постійним збуренням. Часові відповіді містять такі речі, як крок відповіді, відповідь на рампу та імпульсна відповідь . Частотні відповіді містять синусоїдальні реакції .

Аалто університет має деякий курс Mat-2.4129 матеріал вільно тут , найбільш важливі , ймовірно , файли Matlab , тому що більшість речей на фінською мовою. Якщо вас більше цікавить, ви можете ознайомитись із відео нижче для ознайомлення з відео. Я вважав їх корисними сам.

У мене є лише дуже елементарні знання про проблеми LTI, тому я висвітлю їх нижче - але, безумовно, є набагато більше різних проблем!

Відповіді з лінійними проблемами, інваріантними часом

При проблемах LTI (лінійної інваріантності часу) вхід і вихід повинні мати однакову форму: синусоїдальний вхід має синусоїдальний вихід і аналогічно кроковий вхід призводить до крокового виходу. Якщо у вас немає системи LTI - скажімо, у вас є зворотний зв'язок або кореляція управління / шуму та вводу - то все вищезазначене твердження може бути помилковим. За допомогою LTI ви отримаєте два типи змін: зміна фази та амплітуда, але частота залишається однаковою. Якщо ви порушите деякі припущення, скажімо, з некореляційним припущенням, то введення та вихід можуть мати дуже різні форми.

Якщо вам потрібно дослідити, чи є система LTI чи ні, ви можете використовувати такі інструменти, як рівняння Вінера-Хопфа та кореляційний аналіз. Рівняння Вінера-Хопфа використовується з галасливими системами. Важливо перевірити результати та перевірити приміщення, інакше легко помилитися з різними відповідями. Більше про визначення імпульсної реакції за допомогою шумної системи тут .

Список літератури

Стаття у Вікіпедії про LTI тут

Дуже хороші вступні відео про різні відповіді тут і тут - кілька ключових моментів нижче.

— чч
джерело

(не пов’язане питання): як ви створили знімок відео?

— alexey

1

@alexey шукайте програми "колаж" у деяких магазинах додатків чи браузерах.

— hhh