Як працює

Я новачок у DSP і у мене мало сумнівів щодо цього $\mathcal Z$-трансформація та її область конвергенції (ROC).

Я знаю, що таке $\mathcal Z$-трансформація є. Але у мене проблеми з розумінням РПЦ. Перш за все, я маю певну плутанину$X(z)$ і $x(z)$. Я легко потрапляю, обмінюючись цими умовами. Я знаю, що ROC визначає область, де знаходиться$\mathcal Z$-трансформа існує. З Інтернету та моїх книг сказано, що:

Якщо $x[n]$ є послідовністю з кінцевою тривалістю, тоді ROC є цілою $z$-план, крім можливого $z = 0$ або $\lvert z\rvert = \infty$. Послідовність з кінцевою тривалістю - це послідовність, яка не є нульовою у кінцевому інтервалі$n_1 \le n \le n_2$

А згодом сказано:

Коли $n_2 > 0$ буде $z^{-1}$ термін, і, отже, РПЦ не буде включати $z=0$. Коли$n_1 < 0$ тоді сума буде нескінченною, і таким чином РПЦ не буде включати $\lvert z\rvert=\infty$.

Ось де я застряг !. Що вони намагаються сказати у наведеному вище рядку " Коли$n_2 > 0$ буде $z^{-1}$ термін, і, отже, РПЦ не буде включати $z=0$"Що вони означають? $z=0$? Вони замінюють$z$ як $0$, якщо так, то в якому рівнянні?

Як обчислити область збіжності для нескінченної послідовності?

Якщо бути чесним, я вважав, що теорія Z-трансформації теж була непрозорою в коледжі. Заздалегідь, вивчення курсу комплексного аналізу зробило б це зрозумілішим. І мені занадто не подобаються нотаційні конвенції, які, здається, використовуються для цього матеріалу. Строго кажучи, звичайна умова тут така

• $x[n]$ позначає дискретно-часову послідовність
  • $n\in \mathbb{Z}$
  • дужки позначають дискретний аргумент
• $X(z)$ позначає функцію безперервного значення, що перетворюється
  • $z\in\mathbb{C}$ (це складне число)
  • в дужках позначають функцію, що приймає параметр безперервного значення
  • капітал $X$ позначає перетворену версію деякої іншої функції / послідовності $x$ (подібне позначення використовується для перетворень Фур'є: $F(j\omega)\leftrightarrow f(t)$

Що вони означають під z = 0? Вони замінюють z як 0, якщо так, то в якому рівнянні?

Вони означають, просто підключіть $z=0$ у ваше звичайне визначення Z-перетворення.

$X(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

Взагалі (точніше, коли $x[n] \ne 0$ для деяких $n \ne 0$) ця сума буде розходитися (до нескінченності) для якогось складного $z$. Наприклад, нехай$x[0] = 1, x[1] = 1$, і $x[n]=0$ для $n<0$ і $n>1$. Тоді$X(z) = 1 + z^{-1}$. РПЦ не включає$z=0$, для $\lim_{z\rightarrow 0} X(z)=\infty$

Коли у вашому тексті написано: " Коли буде термін і, отже, ROC не буде включати$n_2>0$$z^{−1}$$z=0$ ", що вони означають під цим значенням, коли є ненульовим для деякого , z-перетворення неминуче включає термін , який розходиться до нескінченності при . Це все.$x[n]$$n>0$$z^{-n}$$z=0$

Як обчислити область збіжності для нескінченної послідовності?

Багато математики. Га!

srsly, так це робиться для отримання алгебраїчної рецептури для відповідної послідовності, включення її до визначення Z-перетворення та використання інструментів, доступних для аналізу геометричних рядів (і складних рядів потужності), щоб визначити, де цей Z -перетворює конвергенти / розбіжності. На практиці визначення того, чи є конвергенція, є найважливішим питанням, на яке потрібно відповісти, оскільки це визначає стабільність, і чи можна отримати частотну характеристику від системи тощо. Але причинність може мати значення і в залежності від того, що ви робиш$|z|=1$