Чому автокореляція отримує свій пік у нуль?

Я знаю, що зсув нуля у функції автокореляції дорівнює його енергії, але я хотів би зрозуміти, чому пік дорівнює нулю.

Ви шукаєте офіційного доказу чи інтуїції, що стоїть за цим? У більш пізньому випадку: "Ніщо не може бути більше подібним до функції, ніж сама". Автокореляція у lag вимірює схожість між функцією та тією самою функцією, яку зміщує . Зауважимо, що якщо періодичний, зміщується на будь-яке ціле число, кратне і збігається, тож автокореляція має гребінкову форму - з піками в цілих кратних періодах з тією ж висотою, що і центральна вершина.f τ f f τ $\tau$$f$$\tau$$f$$f$$\tau$$f$

Функція автокореляції аперіодичного сигналу кінцевої енергії дискретного часу задається для реальних сигналів і складних сигналів відповідно. Обмежившись реальними сигналами для зручності експозиції, розглянемо суму . Для фіксованої затримки та заданого , зазвичай матиме позитивне або негативне значення. Якщо так трапиться, що для певної затримки , невід’ємне для всіх , то всі додані в сумі суми будуть складені (без скасування) і так

$$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$$ $x[m]x[m-n]$$n$$m$$x[m]x[m-n]$$n$$x[m]x[m-n]$$m$$R_x[n]$x [ m - n ] x [ m ] x [ m - n ] x [ m ] x x [ m ] = { sin ( 0,1 π м )гарантовано мати позитивне значення. Насправді сума буде найбільшою, якщо всі вершини співпадають з вершинами в а долини в співпадають з долинами в . Наприклад, якщо є надмірно вибірковою функцією sinc, скажімо, з піками при та долинах в , тоді матиме максимуми при (і тим самим знаком буде мати$x[m-n]$$x[m]$$x[m-n]$$x[m]$$x$ $$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$$ $m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$$\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ $x(t)$$R_x[n]$n=0,±25,±45,…n=±15,±$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$мінімуми при коли вершини вирівнюються долинами). Глобальний максимум , очевидно , при затримці , коли найвищий пік в і збігаються. Дійсно, цей висновок стосується не лише цього сигналу, але й будь-якого сигналу. При відставанні ми маємо і нам гарантується, що не тільки всі вершини і долини вишикуються з кожної інше (незалежно від того, де вони трапляються в ), але також і те, що найвищі вершини та найглибші долини розташовані належним чином.$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$R x [ n ] n = 0 x [ m ] x [ m - n ] n = 0 R x [ 0 ] = ∞ ∑ m = - ∞ ( x [ m ] ) 2 x [ m ]$R_x[n]$$n = 0$$x[m]$$x[m-n]$ $n = 0$ $$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$$ $x[m]$

Більш формально, для таких педантів, як @JohnSmith, які вимагають формальних доказів, нерівність Коші говорить, що для складних послідовностей і , Обмежуючись реальними значеннями послідовностей лише для полегшення експозиції, більш детальна версія говорить, що де рівність має верхню (нижню) межу, якщо є додатне (негативне) число таке, що , (тобто$u$$v$

$$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$$ $$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$$ $\lambda$$u = \lambda v$$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$ де ( )). Визнаючи, що суми всередині квадратних коренів - це енергії та послідовностей, ми можемо записати це Встановлення і де деяке ціле число, у нас є це і визнаючи, що зараз$\lambda > 0$$\lambda < 0$$\mathcal E_u$$\mathcal E_v$ $$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$$ $u[m] = x[m]$$v[m] = x[m-n]$$n$ $$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$$ $\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$, маємо це з рівністю, що тримається в одному з меж, якщо для всіх . І, нарешті, відзначити , що , і що , коли , то послідовність є ідентичною з послідовністю (тобто - це додатне дійсне число таке, що для всіх ), маємо що , що показує, що має пікове значення при $$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$$ $x[m] = \lambda x[m-n]$$m$ $$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$$ $n=0$$u[m] = x[m]$$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$$\lambda = 1$$u[m] = \lambda v[m]$$m$ $$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$$ $R_x[n]$$n=0$, всі інші значення автокореляції менші, ніж цей пік.

---

Коли - періодичний сигнал з кінцевою потужністю, суми, наведені вище для розходяться. У таких випадках використовується функція періодичної автокореляції де - період , є, для всіх цілих чисел . Зауважимо, що - це періодична функція . Тепер, хоча це правда, щодля максимальне значення також періодично повторюється:$x[m]$$R_x[n]$

$$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$$ $N$$x[m]$$x[m] = x[m-N]$$m$$R_x[n]$$n$$R_x[0] \geq |R_x[n]|$$1 < n < N$$R_x[0]$$R_x[kN] = R_x[0]$ для всіх цілих чисел . Зауважте також, що можливо, що для деяких , як правило, при якщо парне, і тому ми можемо мати долини, які є настільки ж глибокими, як найвищі вершини функції періодичної автокореляції. Найпростіший приклад такої послідовності - коли і один період послідовності - , періодична автокореляція - це лише періодична послідовність , тобто чергування вершин і долин з автокореляцією. має пікове значення коли$k$$R_x[n] = -R_x[0]$$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$$n = N/2$$N$$N=2$$[1 ~ -1]$$[2 ~ -2]$$R_x[n]$$2$$n$є парним цілим числом (не забувайте, що є парним цілим числом!) і має значення "анти пік" при непарних значеннях . Загалом, у нас це явище завжди, коли є парним, і один період можна розкласти на .$0$$-2$$n$$N$$\vec{x}$$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

використовуючи

$$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$$

можна легко це показати

$$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$$

перший доданок просто а другий доданок - від’ємне число, яке віднімається від першого. це означає, що не може перевищувати для жодного .R x [ m ] R x [ 0 ] $R_x[0]$$R_x[m]$$R_x[0]$$m$