Як "відбілити" сигнал часової області?

Я намагаюся зрозуміти, як саме реалізувати те, що відомо як фільтр "відбілювання" або просто фільтр "відбілювання".

Я розумію, що мета полягає в тому, щоб він мав дельту як свою функцію автокореляції, але я не впевнений, як це зробити.

Контекст тут такий: сигнал надходить на два різні приймачі, і обчислюється їх перехресна кореляція. Перехресне співвідношення може виглядати як трикутник або інша богозабута форма. Через це стає важко знайти пік сигналу перехресної кореляції. У цьому випадку я чую про необхідність "відбілити" сигнали до того, як на них буде проведено перехресну кореляцію, так що перехресна кореляція тепер нагадує дельта.

Як це робиться?

Дякую!

Припустимо, у вас є сигнали та y ( t ) , перехресні кореляційні функції яких R x , y ( t ) - це не те, що вам подобається; ви хочете, щоб R x , y був подібний до імпульсу. Зауважимо, що у частотній області F [ R x , y ] = S x , y ( f ) = X ( f ) Y ∗ ( f ) $x(t)$$y(t)$$R_{x,y}(t)$$R_{x,y}$

$$\mathcal{F}[R_{x,y}] = S_{x,y}(f) = X(f)Y^*(f).$$ Таким чином , ви фільтрації сигналів через лінійні фільтри і ч , відповідно , щоб отримати х ( т ) = х * г , Х ( п ) = Х ( е ) З ( е ) , і у = у * год , Y ( f ) = Y ( f ) H ( f ) , і тепер їх перехресна кореляційна функція $g$$h$$\hat{x}(t) = x*g$$\hat{X}(f) = X(f)G(f)$$\hat{y} = y*h$$\hat{Y}(f) = Y(f)H(f)$ якого перетворення Фур'є F [ R х , у ] = S х , у ( е $R_{\hat{x},\hat{y}}$ то є, R х , у є крос-кореляціїRх,уз Rч,г. Що ще важливіше, ви хочете вибратиgіh,щобпоперечна спектральна щільністьG(f $$\begin{align*} \mathcal{F}[R_{\hat{x},\hat{y}}] = S_{\hat{x},\hat{y}}(f) &= [X(f)G(f)][Y(f)H(f)]^*\\ &= [X(f)Y^*(f)][G(f)H^*(f)]\\ &= [X(f)Y^*(f)][G^*(f)H(f)]^*, \end{align*}$$ $R_{\hat{x},\hat{y}}$$R_{x,y}$$R_{h,g}$$g$$h$ по г і ч є мультиплікативний зворотним по відношенню до крос-спектральна щільність X ( F ) Y * ( е ) з ї та у , або щото близько до нього. Якщо у вас є лише один сигнал і один фільтр, ви отримуєте результат, наданий Гільмаром (з поправками, як це подано в моєму коментарі). В будь-якому випадку питання щодо компенсації спектральних нулів або взагалі частотних смуг, де сигнали мають мало енергії, все ще залишається.$G(f)H^*(f)$$g$$h$ $X(f)Y^*(f)$$x$$y$

Попереднє відбілювання може бути здійснено шляхом фільтрації за допомогою функції передачі, яка є приблизно зворотною спектру потужності сигналу. Скажімо, у вас є звуковий сигнал, який приблизно рожевий. Для того щоб відбілити це, ви застосували фільтр із зворотним рожевим кольором (частотна характеристика зростає на 3 дБ на октаву).

Однак я не впевнений, чи допоможе це у вашій проблемі. Попереднє відбілювання має тенденцію до посилення низько енергетичних частин сигналу, що може бути галасливим і, таким чином, збільшувати загальний шум у вашій системі. Якщо ви намагаєтеся визначити, чи два сигнали вирівняні за часом (або яке вирівнювання часу), то в проблемі є певна нечіткість, пов’язана з пропускною здатністю сигналу. Це точно представлено у формі часової області функції автокореляції. 

$\bf x$$\bf x$$\bf x$

$\bf x$$C_{ij} = \frac{1}{N}\sum_{{\bf x}\in Data}x_i x_j$$N$$i,j$$\bf x$

Коли у вас є ця матриця коваріації, ви можете обчислити відбілюючу трансформацію у вигляді матриці для множення даних для отримання побіленої версії. Коваріація цих нових побілених даних є матрицею ідентичності.

${\bf y} = C^{-1/2}{\bf x}$

$C^{-1/2}$$C=LL^T$${\bf y}=L^{-1}{\bf x}$$L$

Якщо мова йде лише про те, як відфільтрувати частини низької енергії в сигналі, чи можете ви використовувати фільтр низької частоти? Про це є кілька реалізацій.

Якщо це йому корисно: Ця стаття від Karjalaien et. al - про відбілюючий фільтр і метод викривленого лінійного прогнозування, який застосовується фільтром.