Чи вартий додаткових обчислювальних витрат на основі вейвлет-кореляційного заходу?

Я використовував як кореляцію, так і узгодженість як міри кореляції між сигналами. Я думав, що часовий частотний підхід дасть мені найкраще з цих світів.

Моє запитання: чи ці додаткові дані додають достатньо до загальної картини сигналу, щоб виправдати збільшені обчислювальні витрати, пов'язані з виконанням вейвлет-перетворень як частини обчислення?

Довідка: стаття ArXiv : "Техніка перехресної кореляції у вейвлетній області для виявлення стохастичних гравітаційних хвиль" С.Клименко, Г.Міцельмахер, А.Сазонов

По-перше, ви повинні використовувати той інструмент, який підходить для роботи. Кореляція проти узгодженості проти кореляції на основі вейвлета-все різні речі, так що це питання ніби як питати «Що краще? Викрутки або молотки?» Це залежить від того, що ви намагаєтеся зробити, і чи дбаєте ви про подібність у часі, спектрах частоти чи обох.

По-друге, я лише мінімально розумію вейвлети, але ваше припущення, що вейвлетам потрібно більше обчислень, може бути помилковим. Швидке перетворення Фур'є приймає$O(n\log n)$ операцій , в той час як швидка вейвлет-трансформація займає$O(n)$. Тож метод вейвлетів може насправді вимагати менших обчислень, залежно від того, чи можете ви використовувати інформацію, яку ви отримуєте з нього.

Емпірично , виробляючи n виходів з n реальних входів, багаторівневе перетворення вейвлетів у PyWavelets стає швидшим, ніж FFT NumPy, коли n перевищує приблизно 4096.

Однак

1. Це Python, і дві реалізації можуть бути дуже різними ефективними. Я навіть не знаю, чи wavedec()вважали б це швидкою хвилеподібною трансформацією. Вони використовують абревіатуру DWT у своїй документації. Чи однакові Haar DWT і FWT?
2. Час змінюється залежно від використовуваного вейвлета. Вейвлет Мейєра займає 6 разів довше, ніж Daubechies, щоб створити однаковий обсяг даних.
3. Я до сих пір не розумію, як FWT визначає площину частоти часу , або якщо отримання n виходів є достатнім для отримання такого ж вимірювання подібності, як кругова перехресна кореляція n -точок за допомогою FFT. (Технічно це площина часового масштабу, а не часова частота, але я думаю, що вони однакові для складної вейвлета Morlet ?) FWT - це "критична вибірка" літака і видає таку ж кількість даних, що і FFT, тому здається справедливим їх порівняння.

Основний момент полягає в тому, що час обчислень є принаймні приблизно однаковим для обох, тому я не думаю, що ви повинні турбуватися про це, вирішуючи, що використовувати.

Це дуже пізно, але, можливо, це все-таки варто ...

Площина шкали часу не є такою ж, як площина частоти часу, хоча це може бути корисним. Сигнали в різних місцях часової шкали пов'язані між собою$x(t) \rightarrow x(\Delta s(t-\Delta t))$, де $\Delta s$ переміщує вас вгору (або вниз) в масштабі і $\Delta t$зміщує вас у часі. Це ж перетворення в площині часової частоти$x(t) \rightarrow x(t-\Delta t) e^{i \Delta \omega t}$, де $\Delta \omega$- це зміщення частоти. Якщо ваш сигнал$x(t)$ є синусоїда, дві трансформації однакові.

DWT, або дискретна вейвлет-трансформація, обчислює лише дискретні шкали, так само як FFT обчислює лише дискретні частоти. І коментар, який @Spacey зробив вище, що DWT не є інваріантним для перекладу, є правильним. Це відбувається тому, що на кожному етапі ДВТ сигнал зменшується на два. Це робить DWT швидше, ніж FFT,$O(N)$, але також руйнує інваріантність перекладу.

Тож використання DWT для вивчення площини часового масштабу не дасть вам дуже далеко. Особливо це стосується того, що ваги, "відвідувані" DWT, розділені між собою двома коефіцієнтами і набагато менш щільні, ніж покриття, яке ви можете отримати в площині частоти часу за допомогою FFT. Потрібно використовувати вейвлет-трансформацію, що є інваріантною для перекладу, яку іноді називають неоднозначним перетворенням вейвлет серед багатьох інших імен. Навіть тоді у вас все ще є рідкість обчислених зразків шкали, з якими можна боротися.

Крім того, часто бажано думати про розташування в площині часового масштабу як щільність енергії. Цей підхід полегшується за допомогою аналітичного вейвлета, такого як складний вейвлет Morlet, згаданий раніше. Одним із методів, який врівноважує переклад-інваріантність та аналітичність щодо часу обчислення, є комплексне вейвлет-перетворення двох дерев . Зробити те ж саме в площині часової частоти, можливо, простіше: зробіть приблизну трансформацію Гільберта на своєму сигналі спочатку, зробивши FFT, нулюючи всі негативні частоти, а потім IFFT.

Якщо інтуїція, що кореляція шукає подібність у часі, а узгодженість шукає подібність за частотою, є правильною, то, можливо, вам буде краще дотримуватися площини часу. Це, звичайно, простіше обчислити, і легко вдосконалити вибірку вздовж осі частоти. Жоден із згаданих підходів не розглядає вибірку масштабу осі більш щільно. Для цього вам доведеться перейти до безперервної вейвлетської трансформації , хоча там може бути щось інше, про що я не знаю. Якщо у вас є Matlab, перейдіть за посиланням вище та перекажіть його.