Це той приклад, який я вважаю найкращим для розуміння сюжету «Вейвлет».
Подивіться на зображення нижче. Форма хвилі (A) - це наш оригінальний сигнал. Форма хвилі (B) показує вейвлет Daubechies 20 (Db20) довжиною приблизно 1/8 секунди, який починається на початку (t = 0) і ефективно закінчується добре до 1/4 секунди Нульові значення подовжуються на повну 1 секунду. Порівняння по точці * з нашим імпульсним сигналом (А) буде дуже поганим, і ми отримаємо дуже мале значення кореляції.
ми спочатку зсуваємо нерозтягнуту основну або материнську вейвлет трохи вправо і проводимо чергове порівняння сигналу з цією новою формою хвилі, щоб отримати ще одне значення кореляції. Ми продовжуємо зміщуватися, і коли вейвлет Db20 знаходиться в положенні, показаному в (C), ми отримуємо трохи кращі порівняння, ніж у (B), але все ще дуже погані, оскільки (C) і (A) різні частоти.
Після того, як ми продовжимо зміщення вейвлета до кінця інтервалу 1 секунди, ми починаємо спочатку з трохи розтягнутим вейвлетом на початку і кілька разів зміщуємо праворуч, щоб отримати ще один повний набір цих значень кореляції. Форма хвилі (D) показує вейвлет Db20, розтягнутий туди, де частота приблизно така сама, як імпульс (А), і зміщується вправо, поки вершини та долини не вирівняються досить добре. У цих конкретних кількостях зсуву і розтягування ми повинні отримати дуже хороше порівняння і велике співвідношення. Подальше зміщення вправо, однак, навіть при цьому ж розтягуванні вийде все більш погана кореляція. Подальше розтягнення зовсім не допомагає, оскільки навіть коли вишикуються, пульс і перетягнута вейвлет не будуть однаковою частотою.
У CWT у нас є одне значення кореляції для кожного зсуву кожного розтягнутого вейвлета. † Щоб показати значення кореляції (якість “матчу”) для всіх цих розтяжок і зрушень, ми використовуємо 3-D дисплей.
Ось це іде,
Яскраві плями вказують, де вершини та долини розтягнутого та зміщеного вейвлета найкраще вирівнюються до вершин та долин вбудованого імпульсу (темні, коли немає вирівнювання, тьмяніші, де вирівнюються лише деякі вершини та долини, але найяскравіші, де всі вершини та долини вирівняти). У цьому простому прикладі розтягнення вейвлета на коефіцієнт 2 від 40 до 20 Гц (розтягнення фільтра від початкових 20 балів до 40 балів) і зміщення його на 3/8 секунди в часі дало найкращу кореляцію і погоджується з тим, що ми знали апріорі або «вперед» щодо імпульсу (імпульс зосереджений на 3/8 секунди, частота пульсу 20 Гц).
Ми вибрали вейвлет Db20, оскільки він трохи нагадує імпульсний сигнал. Якби ми апріорі не знали, як виглядала подія, ми могли б спробувати кілька вейвлетів (легко перемикаються в програмному забезпеченні), щоб побачити, що створило дисплей CWT з найяскравішими плямами (що свідчить про найкращу кореляцію). Це розповість нам щось про форму події.
На прикладі простого підручника ми могли б лише візуально визначити розташування та частоту пульсу (А). Наступний приклад - трохи більш репрезентативний вейвлет у реальному світі, де розташування та частота не видно неозброєним оком.
Дивіться приклад нижче,
Хвилянки можна використовувати для аналізу місцевих подій. Ми побудуємо сигнал з синусоїдною хвилею, що повільно змінюється на 300 точок, і додамо крихітний «глюк» або розрив (у схилі) за час = 180. Ми не помітили б глюк, якби не дивилися на крупний план (б).
Тепер давайте подивимось, як FFT відображатиме цей глюк, подивіться,
Низьку частоту синусоїди легко помітити, але невеликі збої не видно.
Але якщо ми використовуємо CWT замість FFT, він чітко відображатиме цю проблему,
Як ви бачите, на вейвлет-діапазонах CWT чітко видно вертикальну лінію за часом = 180 та за низькими масштабами. (У вейвлета дуже мало розтягується при низьких масштабах, що вказує на те, що глюк був дуже коротким.) CWT також добре порівнює з великою коливальною синусоїдою, яка приховує глюк. На цих вищих масштабах вейвлет був розтягнутий (на меншу частоту) і, таким чином, «знаходить» вершину і долину синусоїди за часом = 75 і 225. Для цього короткого розриву ми використовували короткий 4-бальний Db4 вейвлет (як показано) для найкращого порівняння.
