Як отримати стаціонарний передбачувач фільтра Кальмана?

У своїй главі про фільтри Кальмана моя книга DSP говорить, здавалося б, не так, що стаціонарний фільтр Kalman для системи

{\begin{cases} х (т + 1) & = А х (т) + ш (т) \\ у (т) & = С х (т) + v (т) \end{cases}

$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$

має предиктор

\hat{х} (т + 1 | т) = (А - А \bar{К} С) \hat{х} (т | т - 1) + А \bar{К} у (т)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$

і стаціонарна коваріація вектора стану та посилення Кальмана

\bar{П} = А \bar{П} А^{Т} - А \bar{П} С^{Т} (С \bar{П} С^{Т} + R)^{- 1} С \bar{П} А^{Т} + Q

$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$

\bar{К} = \bar{П} С^{Т} (С \bar{П} С^{Т} + R)^{- 1}

$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$

де і позначають коваріації вхідного шуму і вимірювального шуму відповідно. $Q$ $R$ $w$ $v$

Я не можу зрозуміти, як дійти до цього за допомогою прогноктора мінімальної дисперсії. Чи може хтось мені це пояснити, або вказати мені на ресурс, який виводить вираз? Це фільтр мінімальної дисперсії за часовим варіантом, який я можу отримати:

\hat{х} (т + 1 | т) = (А - К (т) С) \hat{х} (т | т - 1) + К (т) у (т)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$

П (т + 1 | т) = А (П (т | т - 1) - П (т | т - 1) С^{Т} (С П (т | т - 1) С^{Т} + R)^{- 1} С П (т | т - 1)) А^{Т} + Q

$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$

К (т) = А П (т | т - 1) С^{Т} (С П (т | т - 1) С^{Т} + R)^{- 1}

$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$

Я просто не впевнений у тому, як перейти звідси до стаціонарного фільтра вгорі.

Оновлення: я бачу, що заміщення і у фільтрі часового варіанту призводить до стаціонарного фільтра, але чому помножити на ? Це лише симптом невдалого вибору позначення, тобто, або або насправді не позначає виграш Кальмана? $\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$ $K(t)=A\bar{K}$ $A$ $K$ $\bar{K}$

kalman-filters

— Андреас
джерело

Ні, "бачити" прогноктора з рівнянь для системи неможливо. Я думаю, що було б краще, якщо ви прочитаєте текстову книгу на фільтрах Кальмана, а не просите нас отримати це для вас (що було б просто переробити щось із текстової книги). Оптимальне фільтрування Андерсона та Мура може бути хорошим місцем для початку. Це виведено в главі 5, якщо я правильно пам’ятаю.

— Лорем Іпсум

@yoda: Дякую Моє запитання було, чи хтось може вказати мені на кращий ресурс, ніж підручник, який рекомендує мій курс, тож це відповідь.

— Андреас

@yoda: До речі, у випадку, коли мені було незрозуміло: я не прошу виведення з державно-просторової системи, а від мінімального дисперсійного фільтра Кальмана. Я оновив питання, щоб зрозуміти, що я можу отримати фільтр Кальмана, що інвартується часом, тільки не стаціонарний.

— Андреас

З якого тексту ви отримуєте вище? Якщо хтось має доступ до нього, це може бути корисним, щоб ми могли бачити весь контекст.

— Джейсон R

Ваші виводи правильні.

$\bar P = P(t|t-1)$ $K(t) = A \bar K$

Це ваша плутанина:

$t|t-1$
Як це може бути "нерухомим", коли ваша деривація показує, що час змінюється?

Поганий вибір нотації на цій книгу частини

$\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$ $\bar P$

Нерозуміння слова "стаціонарний".

$P$ $K$ $\bar P$ $\bar K$

Попередні значення себе
$A$ $C$ $A$ $C$
$Q$ $R$

$K$ $P$ $y$

Висновок:

Виведені вами рівняння "часового варіанту" були еквівалентні рівням, наведеним у книзі. Крім того, помітні відмінності, з вашого боку було незначне непорозуміння щодо того, що змінюється, а що ні.

— ssk08
джерело

Я не пам’ятаю, у чому була проблема, коли я задавала питання, але зараз це має сенс. Спасибі!

— Андреас

Я цього не зовсім розумію. Як виглядатимуть рівняння для нестаціонарного фільтра Кальмана?

— Санду Урсу