Почну, кажу, що це проблема домашнього завдання прямо з книги. Я витратив пару годин на пошук, як знайти очікувані значення, і визначив, що нічого не розумію.

Нехай має CDF . Знайдіть для тих значень для яких існує .$X$$F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$
$E(X)$$\alpha$$E(X)$

Я поняття не маю, як це навіть почати. Як я можу визначити, які значення існують? Я також не знаю, що робити з CDF (я припускаю, що це означає функцію накопичувального розподілу). Існують формули для пошуку очікуваного значення, коли у вас функція частоти або густини. Вікіпедія говорить, що CDF можна визначити за допомогою функції щільності ймовірності таким чином:$\alpha$$X$$f$

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

Це наскільки я отримав. Куди я їхати звідси?

EDIT: Я мав намір поставити .$x\ge1$

Відредаговано для коментаря з ймовірності

Зауважте, що $F(1)=0$ у цьому випадку, тому розподіл має ймовірність $0$ бути меншим за $1$ , тому $x \ge 1$ , і вам також знадобиться $\alpha > 0$ для збільшення cdf.

Якщо у вас є PDF, ви хочете антиінтегральну чи похідну, яка має постійний розподіл, як це

$$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$

а у зворотному $F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$ при$x \ge 1$ .

Потім, щоб знайти очікування, яке вам потрібно знайти

$$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$$

за умови, що це існує. Я залишу обчислення тобі.

Використання функції щільності не потрібно

Інтегруйте 1 мінус CDF

Якщо у вас є випадкова величина яка має підтримку, яка не є негативною (тобто змінна має ненульову щільність / ймовірність лише для позитивних значень), ви можете використовувати таке властивість:$X$

$$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$$

Подібна властивість застосовується у випадку дискретної випадкової величини.

Доказ

Оскільки ,$1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

$$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$$

Потім змініть порядок інтеграції:

$$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$$

Визнаючи, що - фіктивна змінна, або приймаючи просту заміну t = x і d t = d x ,$t$$t=x$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

$$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$$

Атрибуція

Я використав розділ Формули для особливих випадків статті Очікуване значення у Вікіпедії, щоб оновити пам’ять про підтвердження. Цей розділ також містить докази для дискретного випадкового випадку змінної, а також для випадку, коли не існує функції щільності.

Результат поширюється на й момент $k$$X$ , а також. Ось графічне зображення:

Я думаю, ви насправді маєте на увазі , інакше CDF є вакуумним, оскільки F ( 1 ) = 1 - 1 - α = 1 - 1 = 0 .$x\geq 1$$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

Те, що ви «знаєте» про CDF, це те, що вони врешті-решт наближаються до нуля, оскільки аргумент зменшується без обмежень і, зрештою, наближається до одиниці як x → ∞ . Вони також не зменшуються, тому це означає 0 ≤ F ( y ) ≤ F ( x ) ≤ 1 для всіх y ≤ x .$x$$x \to \infty$$0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$$y\leq x$

So if we plug in the CDF we get:

$$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$$

From this we conclude that the support for $x$ is $x\geq 1$. Now we also require $\lim_{x\to\infty} F(x)=1$ which implies that $\alpha>0$

To work out what values the expectation exists, we require:

$$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$$

And this last expression shows that for $E(X)$ to exist, we must have $-\alpha<-1$, which in turn implies $\alpha>1$. This can easily be extended to determine the values of $\alpha$ for which the $r$'th raw moment $E(X^{r})$ exists.

Відповідь, яка вимагає зміни порядку, є надмірно некрасивою. Ось більш елегантний доказ 2 рядків.

$\int udv = uv - \int vdu$

Тепер візьміть $du = dx$ і $v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$