Розподіл "немішаних" деталей на основі порядку суміші

Припустимо, у мене є парні спостереження, намальовані в як для . Нехай $X_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_x^2\right), Y_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_y^2\right),$ $i=1,2,\ldots,n$ $Z_i = X_i + Y_i,$ і позначаємо через $Z_{i_j}$ то $j$ Найбільше спостережуване значення $Z$ . Що таке (умовний) розподіл $X_{i_j}$ ? (або еквівалентно, що в $Y_{i_j}$ )

Тобто, що таке розподіл $X_i$ умовний на $Z_i$ будучи $j$ го найбільшого $n$ спостережувані значення $Z$ ?

Я здогадуюсь, що як $\rho = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \to 0$ , розповсюдження $X_{i_j}$ зближується лише до безумовного розподілу $X$ , поки як $\rho \to \infty$ , розповсюдження $X_{i_j}$ сходиться до безумовного розподілу $j$ Статистика порядку $X$ . В середині, однак, я не впевнений.

distributions order-statistics shrinkage

— шабчеф
джерело

Я видалив тег "суміш", тому що це питання про суму (або, що еквівалентно, про корельовані нормальні змінні), а не про їх суміш.

— whuber

X_{i}

$X_i$ також вважається незалежним від

Y_{i}

$Y_i$ , так?

— кардинал

@cardinal: так, вони незалежні.

— shabbychef

Нещодавнє та пов’язане із цим питання, що спливе на math.SE: math.stackexchange.com/questions/38873/…

— кардинал

Рішення, розміщене на math.SE, концептуально ідентичне рішенню, яке я подаю нижче, але формулюється з використанням дещо іншої термінології.

— NRH

Відповіді:

Зауважте, що випадкова величина $i_j$ є функцією $\mathbf{Z} = (Z_1, \ldots, Z_n)$ тільки. Для $n$ -вектор, $\mathbf{z}$ , ми пишемо $i_j(\mathbf{z})$ для індексу $j$ й найбільша координата. Нехай також $P_z(A) = P(X_1 \in A \mid Z_1 = z)$ позначають умовний розподіл $X_1$ дано $Z_1$ .

Якщо розділити ймовірності вниз відповідно до значення $i_j$ і дезінтегрувати wrt $\mathbf{Z}$ ми отримуємо

\begin{array}{rcl} P (X_{i_{j}} \in A) & = & \sum_{k} P (X_{k} \in A, i_{j} = k) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z = z) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z_{k} = z_{k}) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P_{z_{k}} (A) P (Z \in d z) \\ = & \int P_{z} (A) P (Z_{i_{j}} \in d z) \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(X_{i_j} \in A) & = & \sum_{k} P(X_k \in A, i_j = k) \\ & = &\sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid \mathbf{Z} = \mathbf{z}) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid Z_k = z_k) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P_{z_k}(A) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \int P_{z}(A) P(Z_{i_j} \in dz) \\ \end{array}$

Цей аргумент є досить загальним і покладається лише на висунуті припущення про ід, і $Z_k$ може бути будь-яка задана функція $(X_k, Y_k)$ .

Під припущеннями нормальних розподілів (взяття $\sigma_y = 1$ ) і $Z_k$ будучи сумою, умовний розподіл $X_1$ дано $Z_1 = z$ є

N (\frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}} z, σ_{x}^{2} (1 - \frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}}))

$N\left(\frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2} z, \sigma_x^2\left(1 - \frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2}\right)\right)$ і @probabilityislogic показує, як обчислити розподіл

Z_{i_{j}}

$Z_{i_j}$ , отже, ми маємо явні вирази для обох розподілів, які вводяться в останньому інтегралі вище. Чи можна інтеграл обчислити аналітично - інше питання. Ви, можливо, зможете, але я не можу сказати, чи це можливо. Для асимптотичного аналізу, коли

σ_{x} \to 0

$\sigma_x \to 0$ або

σ_{x} \to \infty

$\sigma_x \to \infty$ це може не бути необхідним.

Інтуїція, що стоїть за вищенаведеним обчисленням, полягає в тому, що це умовний аргумент незалежності. Дано $Z_{k} = z$ змінні $X_{k}$ і $i_j$ є незалежними.

— NRH
джерело

Розподіл $Z_{i_{j}}$ не складно, і це задається розподілом Beta-F:

p_{Z_{i_{j}}} (z) d z = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{z}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{n - j} d z

$p_{Z_{i_{j}}}(z)dz=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dz$

Де $\phi(x)$ стандартний звичайний PDF та $\Phi(x)$ є стандартним нормальним CDF, і $\sigma_{z}^{2}=\sigma_{y}^{2}+\sigma_{x}^{2}$ .

Тепер, якщо вам це дано $Y_{i_{j}}=y$ , тоді $X_{i_{j}}$ є функцією 1 на 1 $Z_{i_{j}}$ , а саме $X_{i_{j}}=Z_{i_{j}}-y$ . Тож я б подумав, що це повинно бути простим застосуванням правила якобіта.

p_{X_{i_{j}} | Y_{i_{j}}} (x | y) = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{x + y}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{n - j} d x

$p_{X_{i_{j}}|Y_{i_{j}}}(x|y)=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dx$

Це здається занадто простим, але я думаю, що це правильно. Раді, що вас показують неправильно.

— ймовірністьіслогічна
джерело

Ви неправильно зрозуміли питання. Я шукаю розповсюдження

X_{i_{j}}

$X_{i_j}$ як функція

j, n, σ_{x}, σ_{y}

$j, n, \sigma_x, \sigma_y$ . Я насправді не спостерігаю за цим

X_{i}

$X_i$ і

Y_{i}

$Y_i$ , і не може спричинити їх. Можна припустити, що це заблокує

σ_{x} = 1

$\sigma_x = 1$ , і таким чином враховуйте лише параметри

j, n, σ_{y}

$j, n, \sigma_y$ .

— шабчеф

нормально - так в основному вам потрібно мати

y

$y$ вилучено з цього рівняння? (інтегрований вихід)

— ймовірністьлогічний

так; і це не незалежно від Z ...

— shabbychef