Дискретна рівномірна випадкова величина (?), Приймаючи всі раціональні значення в закритому інтервалі

У мене просто була (інтелектуальна) атака паніки.

• Безперервна випадкова величина, яка слідує за рівномірною в замкнутому інтервалі : комфортно знайоме статистичне поняття. $U(a,b)$
• Безперервний рівномірний обертів, що має підтримку подовжених колій (наполовину чи цілих): не належним, а базовим байєсівським поняттям для неналежної попередньої, корисної та застосовної.
• Дискретна уніформа, що приймає кінцеву кількість значень: кинемо геодезичний купол, нічого особливого.

А як щодо функції, яка має в своєму домі всі раціональні речовини, що включаються в закритий інтервал з цілими межами (почніть з якщо хочете)? І ми хочемо використовувати його в імовірнісних рамках, вимагаючи, щоб кожне можливе значення було рівним з усіма іншими?$[0,1]$

Кількість можливих значень незмінно нескінченна (що характеризує безліч дискретних розподілів), але як виразити ймовірність одного значення, враховуючи, що ми хочемо, щоб ймовірності були рівними?

Чи можемо ми сказати-показати-довести, що така сутність є (не) випадковою змінною?

Якщо ні, то це ще одне втілення (можливо, вже добре відоме) "неналежного попереднього"?

Чи можливо, що ця сутність є в певному чітко визначеному сенсі, однак спеціальним, "еквівалентним" безперервному рівномірному rv? Або я просто скоїв кардинальний (ітаїчний) гріх?

Здається, той факт, що домен є замкнутим інтервалом, не дозволяє мені відпустити. Обмежені речі зазвичай керовані.

Питань багато, щоб вказувати на внутрішній вир - я не прошу отримати відповіді на кожне з них.

У будь-який час, коли я можу придумати будь-яку інформацію, я буду оновити.

ОНОВЛЕННЯ: це питання щойно набуло тут конструктивістського продовження .

Ця "випадкова змінна" схожа на ідею наявності площини на всій реальній лінії (ваш другий приклад).

$X$$P(X=q)=c$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$$\sigma$$c=0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$

$c>0$$c=0$$\sigma$

$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

$z\in\mathbb{Q}$$-z\in\mathbb{Q}$


$z +y =y+z$

$\mu$$\mu(z + A) = \mu(A)$$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$$\mu(\{z\})=0$$z\in\mathbb{Q}$
$(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$$\mu$
$\mu$
$\mu$

ОНОВЛЕННЯ: Ви одразу отримуєте міру на одиничний інтервал раціональних розмірів, який є рівномірним у цьому сенсі, розглядаючи висунуту міру тієї, яку ми побудували на раціоналах, уздовж карти від раціональних до одиничних інтервальних раціоналів, які відображаються кожен раціональний до своєї дробової частини.
Тому після послаблення вимоги до кінцевої адитивності ви отримуєте такі заходи в обох згаданих вами випадках.