Побудова дискретного обороту, що підтримує всі раціональні в

Це конструктивістський продовження цього питання .

Якщо ми не можемо мати дискретної рівномірної випадкової величини, яка підтримує всі раціональні речовини в інтервалі , то наступне найкраще: $[0,1]$

Побудуйте випадкову змінну яка має цю підтримку, , і вона має деякий розподіл. І майстриня в мені вимагає, щоб ця випадкова величина була побудована з існуючих розподілів, а не була створена шляхом абстрактного визначення того, що ми хочемо отримати.$Q$$Q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

Тому я придумав таке:

Нехай - дискретна випадкова величина, що слідує за варіантом II геометричного розподілу з параметром , а саме$X$$0<p<1$

Нехай також - дискретна випадкова величина, що слідує за варіантом I геометричного розподілу з однаковим параметром , а саме$Y$$p$

$X$ і незалежні. Визначте тепер випадкову змінну$Y$

і розглянемо умовний розподіл

У вільних словах "умовний - відношення до Y, умовне на X, яке є меншим або рівним Y. " Підтримка цього умовного розподілу становить \ {0,1,1 / 2,1 / 3, ..., 1 / k, 1 / (k + 1), ..., 2 / 3,2 / 4,. .. \} = \ mathbb {Q} \ cap [0,1] .Х У Х У { 0 , 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , . . . , 1 / к , 1 / ( K + 1 ) , . . . , 2 / 3 , 2 / 4 , . . . } = Q ∩ [ 0 , 1 $Q$$X$$Y$$X$$Y$$\{0,1,1/2,1/3,...,1/k,1/(k+1),...,2/3,2/4,...\} = \mathbb{Q}\cap[0,1]$

"Питання": Чи може хтось, будь ласка, надати пов'язану функцію масової умовної ймовірності?

Коментар запитав "чи це має бути закрита форма"? Оскільки те, що сьогодні є закритою формою, не є настільки чітким вирізанням, дозвольте сказати так: ми шукаємо функціональну форму, в яку ми можемо ввести раціональне число з , і отримаємо ймовірність (для деяких задане значення параметра звичайно), що веде до орієнтовного графіка pmf. Потім змініть щоб побачити, як змінюється графік.p $[0,1]$$p$$p$

Якщо це допомагає, тоді ми можемо зробити один або обидва межі підтримки відкритими, хоча ці варіанти позбавлять нас можливості точно визначати графік верхнього та / або нижнього значення pmf . Крім того, якщо ми відкриваємо верхню межу, тоді ми повинні враховувати подію кондиціонування .$\{X<Y\}$

Крім того, я вітаю також інших програм, які мають цю підтримку, якщо вони збираються разом зі своїм PMF .

Я використовував геометричний розподіл, тому що в ньому є два варіанти, причому той, що не включає нуль у підтримку (щоб уникнути поділу на нуль). Очевидно, що можна використовувати й інші дискретні обороти, використовуючи деяке укорочення.

Я, безумовно, поставлю за це питання, але система не одразу дозволяє це.

Розглянемо дискретний розподіл з підтримкою на множині з масами ймовірностей{ ( p , q $F$$\{(p,q)\,|\, q \ge p \ge 1\}\subset \mathbb{N}^2$

Це легко підсумовується (усі задіяні серії є геометричними), щоб продемонструвати, що це дійсно розподіл (загальна ймовірність - це єдність).

Для будь-якого ненульового раціонального числа нехай є його поданням у найнижчих виразах: тобто і .a / b = x b > 0 gcd ( a , b ) = $x$$a/b=x$$b\gt 0$$\gcd(a,b)=1$

$F$ викликає дискретний розподіл на за допомогою правил[ 0 , 1 ] ∩ $G$$[0,1]\cap \mathbb{Q}$

(і ). Кожне раціональне число в має ненульову ймовірність. (Якщо ви повинні включити серед значень з позитивною ймовірністю, просто відведіть частину ймовірності від іншого числа - наприклад - і призначте його ).( 0 $G(0)=0$0 1 $(0,1]$$0$$1$$0$

Щоб зрозуміти цю конструкцію, подивіться на це зображення :$F$

р , д Р р / д р д 0 1 G G G ( 1 ) 1 Р ( 1 , 1 ) + F ( 2 , 2 ) + F ( 3 , 3 ) + ⋯ 3 / 8 + 3 / 32 + 3 / 128 + ⋯ = 1 /$F$ дає маси ймовірностей у всіх точках з позитивними інтегральними координатами. Значення представлені кольоровими областями круглих символів. Лінії мають нахили для всіх можливих комбінацій координат і з'являються на графіку. Вони кольорові так само, як і кругові символи: відповідно до їх нахилів. Таким чином, нахил (який явно перебуває в діапазоні від через ) і колір відповідає аргументу з і значень виходять шляхом підсумовування площі всіх кіл , що лежать на кожному рядку. Наприклад,$p,q$$F$$p/q$$p$$q$$0$$1$$G$$G$$G(1)$виходить шляхом підсумовування площ усіх (червоних) кіл по головній діагоналі схилу , заданих = .$1$$F(1,1)+F(2,2)+F(3,3)+\cdots$$3/8 + 3/32 + 3/128 + \cdots = 1/2$

Цей показник показує наближення до досягнуте обмеженням : він розміщує свої значення при раціональних числах від до . Найбільші маси ймовірностей - .д ≤ 100 3044 1 / 100 1 $G$$q\le 100$$3044$$1/100$$1$$\frac{1}{2},\frac{3}{14},\frac{1}{10},\frac{3}{62},\frac{3}{62},\frac{1}{42},\ldots$

Ось повна CDF (точно до роздільної здатності зображення). Щойно перераховані шість номерів дають розміри видимих ​​стрибків, але кожна частина CDF складається із стрибків без винятку:$G$

Я зберу свої коментарі і опублікую їх як відповідь просто для наочності. Я думаю, що ви не будете дуже задоволені, оскільки все, що я роблю, - це звести вашу проблему до іншої проблеми.

Моє позначення:

Q ∩ [ 0 , 1 ]$Q$ - RV, підтримка якого - - мій не є тим самим, що будує з його . Ми визначимо цей використовуючи і , які я ввожу нижче.$\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$$Q$$Q$$\frac{X}{Y}$$Q$$Y$$f$

N ≡ { 1 , 2 , $Y$ - будь-який RV, підтримка якого - - дане ОП, працювало б, наприклад.$\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$$Y$

f : N → Q ∩ [ 0 , 1 $f$ - будь-яка відповідність один до одного а - її зворотна. Ми знаємо, що вони існують.$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$$f^{-1}$

Тепер я стверджую, що можу звести вашу проблему лише до знаходження та його :$f$$f^{-1}$

Просто нехай і ви закінчите. PMF з дорівнює . Q Pr [ Q = q ] = Pr [ Y = f - 1 ( q ) $Q=f\left(Y\right)$$Q$$\Pr[Q =q] = \Pr[Y = f^{-1}(q)]$

Редагувати:

Ось функція g, яка відіграє роль , незважаючи на те, що вона не відповідає особистому листуванню (через дублікати):$f$

g <- function(y) {
    y <- as.integer(y)
    stopifnot(y >= 1)
    b <- 0
    a <- 0
    for (unused_index in seq(1, y)) {
        if (a >= b) {
            b <- b+1
            a <- 0
        } else {
            a <- a+1
        }
    }
    return(sprintf("q = %s / %s", a, b))
    ## return(a / b)
}