Стабільні розподіли, які можна множити?

Стабільні розподіли є інваріантними за згортками. Які підсімейства стабільних розподілів також закриваються при множенні? У тому сенсі, що якщо і , то функція густини ймовірності продукту, (до нормалі нормалізації) також належить до ? $F$ $f\in F$ $g\in F$ $f \cdot g$ $F$

Примітка. Я суттєво змінив зміст цього питання. Але ідея по суті однакова, і зараз вона набагато простіша. У мене була лише часткова відповідь, тому я думаю, що це нормально.

distributions convolution stable-distribution

— беко
джерело

Якщо домен обмежений, середнє значення та дисперсія (справді всі моменти) повинні бути кінцевими. Наскільки ви впевнені, що існують відомі дистрибуції, які відповідають усім умовам?

— Glen_b -Встановіть Моніку

@Glen_b Якщо можливо довести, що не існує розподілу за всіма цими умовами, я прийму відповідь з цим доказом.

— бекко

Що саме є "обмеженим" рівномірним розподілом у (5)? Це один розподіл (і якщо так, то які його параметри), чи це сім'я рівномірних розподілів (і якщо так, то яка сім'я)?

— whuber

F

$\mathcal F$

F

$\mathcal F$

F

$\mathcal F$

@whuber Так, я маю на увазі підсемейство стабільних розподілів. Ви праві, гаусс задовольняє мої критерії. Я шукав інші приклади, але забув це згадати. Чи є інші дистрибутиви, які також відповідають моїм критеріям? Я оновлю питання, дякую, що допомогли мені зробити це зрозумілішим.

— бекко

Відповіді:

$\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

$f$ $\alpha \lt 2$

f (x) \sim | x |^{- (1 + α)} g (sgn (x), α, β)

$f(x) \sim |x|^{-(1+\alpha)} g(\operatorname{sgn}(x), \alpha, \beta)$

$g$ $g$ $x$ $x$ $|x|^{-2(1+\alpha)}$ $2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

$3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$ $\alpha^\prime\in(0,2]$

$\alpha=2$ $\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$ $\mu$ $\sigma$ $x$ $x$

Однозначна відповідь полягає в тому, що сім'я розподілу нормальних є єдиним стабільним розподілом із щільністю закритого продукту.

— дзижчати
джерело

Класно! Тоді це хороший спосіб визначити нормальний розподіл, як унікальний стабільний і закритий під продуктами. Спасибі

— becko

Я знаю, що це часткова відповідь, і я не є експертом, але це може допомогти: якщо один з двох unimodal pdfs є ввігнутим log, то їх згортання не є одномодальним. Через Ібрагімова (1956) , через ці записки . Мабуть, якщо обидва є ввігнутими, то згортання також є ввігнутим.

Що стосується закриття продукту, тільки «чистий» результат я знаю для розподілу продукту є гранична теорема описано в цьому math.se відповідь .

Як щодо усіченої версії цих ? Обмежений рівномірний розподіл є обмежуючим випадком його параметру форми, і наскільки я знаю, вони унімодальні та ввігнуті, тому вони мають унімодальні, увігнуті увігнуті звивини. Я не маю поняття про їхню продукцію. Коли у мене на цьому тижні з’явиться більше часу, я міг би спробувати запустити деякі симуляції, щоб побачити, чи отримую я увігнуті в журнал продукти усіченого розподілу помилок. Може допомогти Говіндараджулу (1966) .

Я не впевнений, що таке політика щодо перехресного розміщення, але, здається, люди math.se можуть допомогти і вам. Ви з цікавості намагаєтесь побудувати алгебраїчну структуру з розподілу ймовірностей?

— shadowtalker
джерело

Політика щодо перехресного розміщення міститься на першій сторінці довідки. Там написано "будь ласка, не перехрести". Ми повинні вибрати один найкращий сайт для нашого питання. Питання можна перенести за потреби. Якщо частина питання краще підходить для іншого сайту, це питання слід задати у вигляді двох окремих питань (які можна пов’язати).

— Glen_b -Встановіть Моніку