Моделювання конвергенції у ймовірності до постійної

Асимптотичні результати неможливо довести за допомогою комп'ютерного моделювання, оскільки вони є твердженнями, що стосуються поняття нескінченності. Але ми повинні мати можливість зрозуміти, що справи дійсно йдуть так, як нам каже теорія.

Розглянемо теоретичний результат

де $X_n$ - функція $n$ випадкових величин, сказати однаково і незалежно розподілених. Це говорить про те, що $X_n$ сходиться вірогідно до нуля. Архетипний приклад тут, напевно, є випадком, коли $X_n$ - середнє значення вибірки мінус загальне очікуване значення iidrv's вибірки,

ЗАПИТАННЯ: Як ми могли переконливо показати комусь, що вищезазначене відношення «матеріалізується в реальному світі», використовуючи результати комп’ютерного моделювання з обов'язково обмежених зразків?

Зверніть увагу, що я спеціально обрав конвергенцію на постійну .

Я надаю нижче свій підхід як відповідь, і сподіваюся на кращі.

ОНОВЛЕННЯ: Щось на задній частині голови мене непокоїло - і я дізнався, що. Я розкопав старе питання, де в коментарях до однієї з відповідей тривало найцікавіше обговорення . Там @Cardinal подав приклад оцінювача, що він є послідовним, але його дисперсія залишається ненульовою та кінцевою асимптотикою. Отже, більш жорстким варіантом мого запитання стає: як ми покажемо за допомогою моделювання, що статистика перетворюється на ймовірність до постійної, коли ця статистика підтримує асимптотику ненульової та кінцевої дисперсії?

Я вважаю функцією розподілу (доповненням у конкретному випадку). Оскільки я хочу використовувати комп’ютерне моделювання, щоб показати, що речі мають тенденцію так, як нам говорить теоретичний результат, мені потрібно побудувати емпіричну функцію розподілуабо емпіричний відносний розподіл частоти, а потім якимось чином показують, що зі збільшенням значень зосередити «все більше і більше» до нуля. $P()$$|X_n|$$n$$|X_n|$

Щоб отримати емпіричну функцію відносної частоти, мені потрібно (набагато) більше, ніж один зразок, що збільшується в розмірі, оскільки в міру збільшення розміру вибірки розподілзміни для кожного різного . $|X_n|$$n$

Отже, мені потрібно генерувати з розподілу , зразків "паралельно", скажімо, у тисячах, кожен з початкових розмірів , скажімо, в межах десятків тисяч. Мені потрібно тоді обчислити значенняз кожного зразка (і для того ж ), тобто отримуємо набір значень .$Y_i$$m$$m$$n$$n$$|X_n|$$n$$\{|x_{1n}|, |x_{2n}|,...,|x_{mn}|\}$

Ці значення можуть бути використані для побудови емпіричного відносного розподілу частоти. Маючи віру в теоретичний результат, я очікую, що "багато" значеньбуде "дуже близько" до нуля, але, звичайно, не всі. $|X_n|$

Отже, щоб показати, що значеннячи дійсно крокуємо до нуля у більшій та більшій кількості, мені доведеться повторити процес, збільшивши розмір вибірки, щоб сказати , і показати, що зараз концентрація до нуля "зросла". Очевидно, щоб показати, що він збільшився, слід вказати емпіричне значення для .$|X_n|$$2n$$\epsilon$

Цього буде достатньо? Чи могли ми якось формалізувати це «підвищення концентрації»? Чи може ця процедура, якщо вона виконується більш кроками "збільшення розміру вибірки", а той, що знаходиться ближче до іншого, дасть нам деяку оцінку щодо фактичної швидкості конвергенції , тобто щось на кшталт "емпіричної маси ймовірності, яка рухається нижче порогової від кожен крок ", скажімо, тисячі? $n$

Або вивчіть значення порогу, для якого, скажімо, % ймовірності лежить нижче, і подивіться, як це значення зменшується на величину?$90$$\epsilon$

ПРИКЛАД

Розглянемо, що є і так$Y_i$$U(0,1)$

Спочатку ми генеруємо зразків розміром кожна. Емпіричний відносний частотний розподілвиглядає як $m=1,000$$n=10,000$$|X_{10,000}|$

і зазначимо, що % значеньменше . $90.10$$|X_{10,000}|$$0.0046155$

Далі збільшую розмір вибірки до . Тепер емпіричний відносний частотний розподілвиглядає так, і зазначимо, що % значеньзнаходяться нижче . Крім того, зараз % значень падають нижче .$n=20,000$$|X_{20,000}|$$91.80$$|X_{20,000}|$$0.0037101$$98.00$$0.0045217$

Вас переконала б така демонстрація?