Чому кореляція Пірсона рангів чинна, незважаючи на припущення про нормальність?

Зараз я читаю припущення щодо кореляцій Пірсона. Важливим припущенням для наступного t-тесту, здається, є те, що обидві змінні походять від звичайних розподілів; якщо цього не зробити, то рекомендується використання альтернативних заходів, таких як Spearman rho. Кореляція Спірмена обчислюється як кореляція Пірсона, лише використовуючи ранги X і Y замість самих X і Y, правда?

Моє запитання: Якщо вхідні змінні в кореляції Пірсона потрібно нормально розподіляти, чому обчислення кореляції Спірмена справедливе, навіть якщо вхідні змінні є ранговими? Мої ранги, безумовно, не походять із звичайних розподілів ...

Єдине пояснення, яке я придумав до цього часу, - це те, що значення rho може бути перевірено інакше, ніж тест Пірсонової кореляції (таким чином, що не вимагає нормальності), але поки що я не знайшов формули. Однак, коли я провів декілька прикладів, значення p для rho та t-тесту Пірсона співвідношення рангів завжди відповідали, за винятком останніх кількох цифр. Для мене це не виглядає як новаторська інша процедура.

Будь-які пояснення та ідеї, які, можливо, ви оцінили б!

Нормальність не потрібна для обчислення співвідношення Пірсона; Просто деякі форми висновку про відповідну кількість населення базуються на нормальних припущеннях (тести на ІС та гіпотези).

Якщо у вас немає нормальності, маються на увазі властивості цієї конкретної форми умовиводу не дотримуються.

У випадку кореляції Спірмена у вас немає нормальності, але це нормально, тому що розрахунки висновку для кореляції Спірмена (наприклад, тест гіпотези) не ґрунтуються на припущенні про нормальність.

Вони отримані на основі того, що вони є набором парних рангів з безперервного двовимірного розподілу; у цьому випадку в тесті гіпотези використовується перестановка перестановки статистики тесту на основі рангів.

Коли звичайні припущення щодо умовиведення кореляції Пірсона (норма двовимірної норми), кореляція Спірмена зазвичай дуже близька (хоча в середньому трохи ближче до 0).

(Отже, коли ви могли використовувати Пірсона, Spearman часто справляється непогано. Якби у вас були майже двоваріантні нормальні дані, окрім забруднення якимсь іншим процесом (який спричинив чужих людей), Spearman був би більш надійним способом оцінити кореляцію в незабруднений розподіл.)

коли я провів кілька прикладів, значення p для rho та t-тесту Пірсона співвідношення рангів завжди відповідали, за винятком останніх кількох цифр

Добре, що ви наводили неправильні приклади тоді!

a = c(1,2,3,4,5,6,7,8,9)
b = c(1,2,3,4,5,6,7,8,90)
cor.test(a,b,method='pearson')

    Pearson's product-moment correlation

data:  a and b
t = 2.0528, df = 7, p-value = 0.0792
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.08621009  0.90762506
sample estimates:
      cor 
0.6130088 

cor.test(a,b,method='spearman')

    Spearman's rank correlation rho

data:  a and b
S = 0, p-value = 5.511e-06
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
rho 
  1 

Вектори aі bмають хороший, але далеко від ідеального лінійного (Pearson) кореляції. Однак вони мають ідеальну кореляційну залежність. Бачите - до Спірмена$\rho$, в цьому випадку має значення не те, чи остання цифра b8,1, 9, 90 або 9000 (спробуйте!), це має значення лише якщо вона більша за 8 . Ось у чому різниця співвідносних рангів.

І навпаки, хоча aі bмають досконалу кореляцію рангів, їх коефіцієнт кореляції Пірсона менший за 1. Це показує, що Пірсонова кореляція не відображає ранги.
Кореляція Пірсона відображає лінійну функцію, рангова кореляція - просто монотонна функція. Що стосується звичайних даних, вони сильно нагадують одне одного, і я підозрюю, що саме тому ваші дані не показують великих відмінностей між Спірманом та Пірсоном.

Для практичного прикладу врахуйте наступне; ви хочете побачити, чи старші люди важать більше. Так, це дурне питання ... але просто припустимо, що це те, що вас хвилює. Тепер маса не лінійно масштабується з вагою, оскільки високі люди також ширші, ніж маленькі люди; тому вага не є лінійною функцією висоти. Хтось, хто на 10% більший за вас, (в середньому) на 10% важчий. Ось чому індекс тіла / маси використовує куб у знаменнику.
Отже, ви б припустили лінійну кореляцію, щоб неточно відобразити співвідношення висота / вага. На відміну від цього, рангова кореляція не чутлива до дратівливих законів фізики та біології в цьому випадку; це не відображає, якщо люди ростуть важче лінійно, коли вони набирають зріст, це просто відображає, якщо люди з високим рівнем (вищі за рангом на одну шкалу) важчі (вище за рангом на іншій шкалі).

Більш типовим прикладом може бути опис опитувальників, подібних до Лікерта, таких як люди оцінюють щось як "ідеальне / добре / гідне / посереднє / погано / жахливо". "досконалий" настільки далеко не "пристойний", як "пристойний" - від "поганий" за шкалою , але чи можна насправді сказати, що відстань між ними однакова? Лінійна кореляція не обов'язково підходить. Кореляція рангів більш природна.

Для більш прямого вирішення вашого питання: ні, значення p для співвідношень Пірсона та Спірмена не повинні обчислюватися по-різному . Багато іншого про двох, концептуально, так і чисельно, але якщо тестова статистика рівносильно, р значення буде еквівалентно.

Щодо питання про припущення про нормальність у співвідношенні Пірсона, дивіться це .
Загалом, інші люди розробили набагато краще, ніж я міг, стосовно теми параметричних та непараметричних кореляцій (також дивіться тут ), і що це означає щодо припущень щодо розподілу.