Теорія надзвичайних значень - Показати: Звичайна до Гумбеля

Максимум $X_1,\dots,X_n. \sim$ iid Standardnormals переходить до стандартного розподілу Gumbel відповідно до теорії екстремальних значень .

Як ми можемо це показати?

Ми маємо

P (max X_{i} \leq x) = P (X_{1} \leq x, \dots, X_{n} \leq x) = P (X_{1} \leq x) \dots P (X_{n} \leq x) = F (x)^{n}

$P(\max X_i \leq x) = P(X_1 \leq x, \dots, X_n \leq x) = P(X_1 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) = F(x)^n$

Нам потрібно знайти / вибрати $a_n>0,b_n\in\mathbb{R}$ послідовності констант, такі:

F {(a_{n} x + b_{n})}^{n} \to^{n \to \infty} G (x) = e^{- \exp (- x)}

$F\left(a_n x+b_n\right)^n\rightarrow^{n\rightarrow\infty} G(x) = e^{-\exp(-x)}$

Чи можете ви її вирішити чи знайти в літературі?

Є кілька прикладів, стор.6 / 71 , але не для нормального випадку:

Φ {(a_{n} x + b_{n})}^{n} = {(\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{a_{n} x + b_{n}} e^{- \frac{y^{2}}{2}} d y)}^{n} \to e^{- \exp (- x)}

$\Phi\left(a_n x+b_n\right)^n=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a_n x+b_n} e^{-\frac{y^2}{2}}dy\right)^n\rightarrow e^{-\exp(-x)}$

— ескор
джерело

Відповіді:

Опосередкованим способом є такий:
Для абсолютно безперервних розповсюджень Річард фон Мізес (у статті 1936 р. "La distribution de la plus grande de n valeurs" , яка, здається, була відтворена англійською мовою? - у виданні 1964 р. Із вибраними папери), передбачив таку достатню умову, щоб максимум зразка наблизився до стандартного Gumbel, : $G(x)$

Нехай є загальною функцією розподілу iid випадкових величин, а їх спільною щільністю. Тоді, якщо $F(x)$ $n$ $f(x)$

lim_{x \to F^{- 1} (1)} (\frac{d}{d x} \frac{(1 - F (x))}{f (x)}) = 0 \Rightarrow X_{(n)} \overset{d}{\to} G (x)

$\lim_{x\rightarrow F^{-1}(1)}\left (\frac d{dx}\frac {(1-F(x))}{f(x)}\right) =0 \Rightarrow X_{(n)} \xrightarrow{d} G(x)$

Використовуючи звичайне позначення для стандартного нормального та обчислюючи похідну, ми маємо

\frac{d}{d x} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} = \frac{- ϕ (x)^{2} - ϕ^{'} (x) (1 - Φ (x))}{ϕ (x)^{2}} = \frac{- ϕ^{'} (x)}{ϕ (x)} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1

$\frac d{dx}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)} = \frac {-\phi(x)^2-\phi'(x)(1-\Phi(x))}{\phi(x)^2} = \frac {-\phi'(x)}{\phi(x)}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1$

Зауважте, що . Також для нормального розподілу . Тому ми повинні оцінити межу $\frac {-\phi'(x)}{\phi(x)} =x$ $F^{-1}(1) = \infty$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1)

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right)$

Але - це коефіцієнт Мілла, і ми знаємо, що коефіцієнт Мілла для стандартного нормального має значення міру зростання . Так $\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}$ $1/x$ $x$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1) = x \frac{1}{x} - 1 = 0

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right) = x\frac {1}{x}-1= 0$

і достатня умова виконується.

Асоційований ряд подається у вигляді

a_{n} = \frac{1}{n ϕ (b_{n})}, b_{n} = Φ^{- 1} (1 - 1 / n)

$a_n = \frac 1{n\phi(b_n)},\;\;\; b_n = \Phi^{-1}(1-1/n)$

ДОБАВЛЕННЯ

Це від гл. 10.5 книги HA David & HN Nagaraja (2003), "Статистика замовлень" (3-е видання) .

$\xi_a = F^{-1}(a)$ . Крім того , посилання на де Хаан є «Haan, LD (1976) Приклади крайнощами: елементарне введення Statistica Neerlandica, 30 (4), 161-172 ... » Але будьте обережні , тому що деякі з позначень має різний зміст в де Хаана - наприклад, у книзі - функція щільності ймовірності, тоді як у де Хаані означає функцію книги (тобто відношення Мілла). Також де Хаан вивчає достатню умову, вже диференційовану. $f(t)$ $f(t)$ $w(t)$

введіть тут опис зображення

— Алекос Пападопулос
джерело

Я не зовсім впевнений, що зрозумів ваше рішення. Таким чином, ви взяли

за стандартний звичайний CDF. Я дотримувався і погоджуюся, що достатня умова виконана. Але як пов'язаний ряд

раптом задається тими?

F

$F$

a_{n}

$a_n$

b_{n}

$b_n$

— renrenthehamster

@renrenthehamster Я думаю, що ці дві частини незалежно заявлені (немає прямого зв'язку).

— emcor

І так, як можна отримати пов'язаний ряд? У всякому разі, я відкрив питання щодо цього питання (і загалом, щодо інших дистрибутивів, що не відповідають нормам)

— renrenthehamster

@renrenthehamster Я додав відповідний матеріал. Я не вірю, що є стандартний рецепт для всіх випадків, щоб знайти ці серії.

— Алекос Пападопулос

Питання задає дві речі: (1) як показати, що максимум сходиться, в тому сенсі, що конвергується (у розподілі) для відповідно обраних послідовностей та - до стандартного розподілу Гумбеля та (2) як знайти такі послідовності. $X_{(n)}$ $(X_{(n)}-b_n)/a_n$ $(a_n)$ $(b_n)$

Перший добре відомий і задокументований в оригінальних працях з теореми Фішера-Тіппетта-Гнеденка (FTG). Другий видається складнішим; це питання, яке тут розглядається.

Зауважте, для уточнення деяких тверджень, що з’являються в інших місцях цієї теми, це

Максимум ні до чого не сходиться: він розходиться (хоча і надзвичайно повільно).
Здається, існують різні конвенції, що стосуються розподілу Гумбеля. Я прийму конвенцію про те, що CDF зворотного розподілу Гумбеля до масштабу та розташування задається . Відповідно стандартизований максимум iid Normal змінних переходить до зворотного розподілу Gumbel. $1-\exp(-\exp(x))$

Інтуїція

Коли є iз загальною функцією розподілу , розподіл максимуму є $X_i$ $F$ $X_{(n)}$

F_{n} (x) = Pr (X_{(n)} \leq x) = Pr (X_{1} \leq x) Pr (X_{2} \leq x) \dots Pr (X_{n} \leq x) = F^{n} (x) .

$F_n(x) = \Pr(X_{(n)}\le x) = \Pr(X_1 \le x)\Pr(X_2 \le x) \cdots \Pr(X_n \le x) = F^n(x).$

Коли підтримка не має верхньої межі, як при нормальному розподілі, послідовність функцій рухається назавжди вправо без обмежень: $F$ $F^n$

Фігура 1

Показані часткові графіки для . $F_n$ $n=1,2,2^2, 2^4, 2^8, 2^{16}$

Для вивчення форми цих розподілів, ми можемо зрушити кожен його назад вліво на деяку величину і масштабувати його , щоб зробити їх порівнянними. $b_n$ $a_n$

Малюнок 2

Кожен з попередніх графіків зміщений, щоб розмістити свою медіану на і скласти свій міжквартильний діапазон одиничної довжини. $0$

FTG стверджує, що послідовності та можна вибирати так, щоб ці функції розподілу точково сходилися на кожному до деякого розподілу крайніх значень , аж до масштабу та місця розташування. Коли - це нормальний розподіл, особливим обмежуючим граничним значенням розподілу є зворотна гумка, до місця розташування та масштабу. $(a_n)$ $(b_n)$ $x$ $F$

Рішення

Привабливо наслідувати теорему центрального граничного рівня, стандартизуючи щоб мати середню одиницю та відхилення одиниці. Це частково недоцільно, оскільки FTG застосовується навіть до (безперервних) дистрибутивів, у яких немає першого чи другого моменту. Натомість використовуйте перцентиль (такий як медіана) для визначення місця розташування та різниці процентів (наприклад, IQR) для визначення спред. (Цей загальний підхід повинен вдалося знайти і для будь-якого безперервного розподілу.) $F_n$ $a_n$ $b_n$

Для звичайного звичайного розподілу це виявляється просто! Нехай . Квантилем відповідає є будь-яке значення для якого . Згадуючи визначення , рішення є $0 \lt q \lt 1$ $F_n$ $q$ $x_q$ $F_n(x_q) = q$ $F_n(x) = F^n(x)$

x_{q; n} = F^{- 1} (q^{1 / n}) .

$x_{q;n} = F^{-1}(q^{1/n}).$

Тому ми можемо встановити

b_{n} = x_{1 / 2; n}, a_{n} = x_{3 / 4; n} - x_{1 / 4; n}; G_{n} (x) = F_{n} (a_{n} x + b_{n}) .

$b_n = x_{1/2;n},\ a_n = x_{3/4;n} - x_{1/4;n};\ G_n(x) = F_n(a_n x + b_n).$

Оскільки за побудовою медіана дорівнює а IQR - , медіана граничного значення (яка є деякою версією зворотного Gumbel) повинна бути а його IQR повинен бути . Нехай параметр масштабу буде а параметр розташування - . Оскільки медіана і IQR виявляється $G_n$ $0$ $1$ $G_n$ $0$ $1$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha + \beta \log\log(2)$ , параметри повинні бути $\beta(\log\log(4) - \log\log(4/3))$

α = \frac{\log \log 2}{\log \log (4 / 3) - \log \log (4)}; β = \frac{1}{\log \log (4) - \log \log (4 / 3)} .

$\alpha = \frac{\log\log 2}{\log\log(4/3) - \log\log(4)};\ \beta = \frac{1}{\log\log(4) - \log\log(4/3)}.$

Це не є необхідним для і бути саме ці значення: вони тільки апроксимувати їх, при умови , що межа досі це зворотне розподіл Гамбела. Відвертий (але виснажливий) аналіз для стандартного нормального вказує на те, що наближення $a_n$ $b_n$ $G_n$ $F$

a_{n}^{'} = \frac{\log ((4 \log^{2} (2)) / (\log^{2} (\frac{4}{3})))}{2 \sqrt{2 \log (n)}}, b_{n}^{'} = \sqrt{2 \log (n)} - \frac{\log (\log (n)) + \log (4 π \log^{2} (2))}{2 \sqrt{2 \log (n)}}

$a_n^\prime = \frac{\log \left(\left(4 \log^2(2)\right)/\left(\log^2\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)}{2\sqrt{2\log (n)}},\ b_n^\prime = \sqrt{2\log (n)}-\frac{\log (\log (n))+\log \left(4 \pi \log ^2(2)\right)}{2 \sqrt{2\log (n)}}$

буде добре працювати (і максимально простий).

$G_n$ $n=2, 2^6, 2^{11}, 2^{16}$ $a_n^\prime$ $b_n^\prime$ $\alpha$ $\beta$ $x$

Список літератури

Б. В. Генденко, Про обмежувальний розподіл максимального члена у випадковому ряді . У «Коц і Джонсон», « Прориви статистики», том I: Основи та основні теорії, Спрингер, 1992. Переклад: Норман Джонсон.

— дзижчати
джерело

a_{n}

$a_n$

0

$0$

n \to \infty

$n\to\infty$

{(2 \log (n) - \log (2 π))}^{- 1 / 2}

$\left(2 \log(n) - \log(2\pi)\right)^{-1/2}$

n

$n$

Так, це правда, я зрозумів це невдовзі після того, як опублікував свій коментар, тому негайно видалив його. Дякую!

— Восслер

a_{n}

$a_n$

b_{n} .

$b_n.$

@Jess Це краще, тому що демонстрація альтернативного підходу була мотивацією написати цю відповідь. Я не розумію вашої інсинуації, що я вважав це "марним записувати відповідь", тому що явно це я зробив тут.

— whuber

@ Джесс я не можу продовжувати цю розмову, оскільки це цілком однобічно: я ще не повинен розпізнати все, що я написав у будь-якій з ваших характеристик. Я кидаю, поки я позаду.

— whuber