Чому випадкові величини визначаються як функції?

У мене виникають проблеми з розумінням поняття випадкової величини як функції. Я розумію механіку (думаю), але не розумію мотивації ...

Скажімо, - втричі ймовірності, де , - алгебра Бореля- на цьому проміжку, а - регулярна міра Лебега. Нехай - випадкова величина від до така, що , , ..., , тому має дискретний рівномірний розподіл на значення 1 по 6. $(\Omega, B, P)$ $\Omega = [0,1]$ $B$ $\sigma$ $P$ $X$ $B$ $\{1,2,3,4,5,6\}$ $X([0,1/6)) = 1$ $X([1/6,2/6)) = 2$ $X([5/6,1]) = 6$ $X$

Це все добре, але я не розумію необхідності початкової потрійної ймовірності ... ми могли б безпосередньо побудувати щось еквівалентне як де - це вся відповідна -алгебра простору, а - це міра, яка призначає кожному підмножині міру (# елементів) / 6. Крім того, вибір був довільним - це міг бути , або будь-який інший набір. $(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$ $S$ $\sigma$ $P_x$ $\Omega=[0,1]$ $[0,2]$

Отже, моє запитання полягає в тому, навіщо турбувати побудову довільної з -алгеброю та мірою, а визначати випадкову змінну як карту від -алгебри до реальної лінії? $\Omega$ $\sigma$ $\sigma$

probability random-variable measure-theory

— Лев Васкес
джерело

Зверніть увагу , що випадкова величина є функцією від в , а не з , щоб . Вимога полягає в тому, що випадкова величина вимірюється відносно .

Ω

$\Omega$

R

$\mathbb{R}$

B

$\mathcal{B}$

R

$R$

B

$\mathcal{B}$

— mpiktas

Відповіді:

Якщо вам цікаво, чому використовується вся ця техніка, коли чогось набагато простішого може вистачити - ви маєте рацію для більшості поширених ситуацій. Однак мірно-теоретичний варіант ймовірності був розроблений Колмогоровим з метою встановлення теорії такої загальності, що вона могла б обробляти в деяких випадках дуже абстрактні та складні простори ймовірностей. Насправді теоретичні основи міри Колмогорова щодо ймовірності в кінцевому рахунку дозволили застосувати ймовірнісні інструменти далеко за межі їх первісної наміченої області застосування в таких сферах, як гармонічний аналіз.

Спочатку здається більш простим пропустити будь-яку "основу" -алгебра та просто призначити маси ймовірностей подіям, що містять зразок простору, як ви запропонували. Дійсно, імовірнісники ефективно роблять те саме, коли вони вирішили працювати з "індукованою мірою" на просторі вибірки, визначеному . Однак все починає бути складним, коли ви починаєте потрапляти в нескінченні розмірні простори. Припустимо, ви хочете довести Сильний закон великих чисел для конкретного випадку гортання справедливих монет (тобто, частка голів довільно тягнеться до 1/2, оскільки кількість монет перевертається до нескінченності). Ви можете спробувати побудувати $\sigma$ $\Omega$ $P \circ X^{-1}$ $\sigma$ -алгебра на безлічі нескінченних послідовностей форми . Але тут можна виявити, що набагато зручніше вважати базовий простір ; а потім використовувати двійкові подання дійсних чисел (наприклад ) для подання послідовностей кидків монети ( де 1 голови, 0 будучи хвостів.) Ілюстрацію цього самого прикладу можна знайти в перших розділах Біллінглі ймовірності і Виміряйте . $(H,T,H,...)$ $\Omega = [0,1)$ $0.10100...$

— charles.y.zheng
джерело

Спасибі! Я перевірю цю книгу. Однак, оскільки все ще довільний (він міг би бути так само у вашому прикладі, є одиничним інтервалом або "кращим" простором, який буде працювати у всіх обставини? Або є ситуації, коли більш складна , як , виявиться корисною?

Ω

$\Omega$

[0, 2)

$[0,2)$

[0, 1]

$[0,1]$

[0, 1)

$[0,1)$

Ω

$\Omega$

R^{2}

$R^2$

— Лев Васкес

@Leo: Так. Приклад стохастичних процесів безперервного часу. Канонічний приклад - броунівський рух, де пробний простір вважається , простір усіх безперервних функцій реального значення.

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— кардинал

@NRH, Так, я мав би сказати, що можна брати замість того , щоб взяти . Я (дещо цілеспрямовано) намагався підчепити це під килим.

— кардинал

@cardinal, у коментарі @ Лео було запитано, чи є "кращим" за будь-яких обставин. Я просто кажу, що в ІМО немає такого і що корисно не вимагати нічого про взагалі. Коли ви хочете працювати з конкретним прикладом, можуть бути причини вибрати один конкретний . Однак зауважимо, що "тавтологія" під килимком підкреслює, що існування броунівського руху як міри ймовірності на потрібно встановити.

[0, 1]

$[0,1]$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— NRH

@NRH, вибач за мою повільність сьогодні. Мені не вдалося підключити бажане посилання на попередній коментар @ Лео. Спасибі. Щодо зауваження "тавтології", я зазначив, що в інших побудовах теорія теоретичної послідовності як послідовність вибіркових контурів є теоремою , тоді як, відповідно до побудова з картою ідентичності є тавтологічною. Звичайно, спочатку слід показати факт, що БМ можна побудувати таким чином. Але це трохи поруч.

C

$\mathcal{C}$

— кардинал

Питання щодо -алгебр - це математичні тонкощі, які насправді не пояснюють, чому ми потребуємо фонового простору . Дійсно, я б сказав, що немає переконливих доказів того, що фон на просторі є необхідністю. Для будь-якої імовірнісної установки , де являє собою вибіркове простір, - алгебру і ймовірнісної міра, інтерес в , і є немає абстрактних причин того, що ми хочемо, щоб була мірою зображення вимірюваної карти . $\sigma$ $(E, \mathbb{E}, \mu)$ $E$ $\mathbb{E}$ $\sigma$ $\mu$ $\mu$ $\mu$ $X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

Однак використання абстрактного фонового простору дає математичну зручність , завдяки чому багато результатів здаються більш природними та інтуїтивними. Мета завжди що - то сказати про , в розподілі по , але це може бути простіше і чіткіше виражені в термінах . $\mu$ $X$ $X$

Приклад наводить теорема про центральну межу. Якщо це дійсна оцінка середнього і дисперсії CLT говорить, що де - функція розподілу для звичайного нормального розподілу. Якщо розподіл дорівнює відповідний результат з точки зору міри читає Потрібно певне пояснення термінології. $X_1, \ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma^2$

P (\frac{\sqrt{n}}{σ} (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - ξ) \leq x) \to Φ (x)

$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$

Φ

$\Phi$

X_{i}

$X_i$

μ

$\mu$

ρ_{\sqrt{n} / σ} \circ τ_{ξ} \circ ρ_{1 / n} (μ^{* n}) ((- \infty, x]) \to Φ (x)

$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$

μ^{* n}

$\mu^{*n}$ маємо на увазі часову згортку (розподіл суми). Функції є лінійними функціями і є перекладом . Можливо, можна було б звикнути до другої рецептури, але це добре допомагає приховувати, про що йдеться.

n

$n$

μ

$\mu$

ρ_{c}

$\rho_c$

ρ_{c} (x) = c x

$\rho_c(x) = cx$

τ_{ξ}

$\tau_{\xi}$

τ_{ξ} (x) = x - ξ

$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

Проблема полягає в тому, що арифметичні перетворення, що беруть участь у CLT, досить чітко виражені у випадкових змінних, але вони не так добре перекладаються з точки зору заходів.

— NRH
джерело

(+1) Хороший опис. Я думаю, що інша причина, колишня нотація настільки популярна, це те, що вона більш природно перекладається на інтуїтивні поняття в додатках. (Проголосували кілька годин тому.)

— кардинал

@cardinal, дякую, що зробили цю точку більш зрозумілою. Дуже природніше думати і сперечатися з точки зору суми змінних, а не згортки імовірнісних заходів, і ми хотіли б, щоб математика це відображала.

— NRH

Я лише нещодавно натрапив на цей новий спосіб подумати про випадкову змінну , а також про фоновий простір . Я не впевнений, це питання, яке ви шукали, оскільки це не математична причина, але я думаю, що це дуже акуратний спосіб мислити РВ. $X$ $\Omega$

Уявіть ситуацію, в якій ми кидаємо монету. Ця експериментальна установка складається з набору можливих початкових умов, які включають фізичний опис того, як кидається монета. Фоновий простір складається з усіх можливих початкових умов. Для простоти можна припустити, що метання монети змінюється лише за швидкістю, тоді ми встановимо $\Omega = [0,v_{max}]$

Випадкову змінну можна розглядати як функцію, яка відображає кожен початковий стан з відповідним результатом експерименту, тобто, чи це хвости чи голова. $X$ $\omega \in \Omega$

Для RV: міра відповідатиме мірі ймовірності за початковими умовами, яка разом з динамікою експерименту, представленого визначає розподіл ймовірності за результатами. $X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$ $Q$ $X$

Для ознайомлення з цією ідеєю ви можете ознайомитись з розділами Тіма Модліна або Мішеля Стрівенса в "Імовірності фізики" (2011)

— Себастьян
джерело