Отримання двовимірного розподілу Пуассона

Нещодавно я стикався з біваріантним розповсюдженням Пуассона, але я трохи розгублений, як це можна отримати.

Розподіл задається:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

З того, що я можу зібрати, термін $\theta_{0}$ є мірою кореляції між $X$ і $Y$ ; отже, коли $X$ і $Y$ незалежні, $\theta_{0} = 0$ і розподіл просто стає добутком двох одномірних розподілів Пуассона.

Маючи це на увазі, моя плутанина грунтується на терміні підсумовування - Я припускаю , що цей термін пояснює кореляцію між $X$ і $Y$ .

Мені здається, що підсумок являє собою якийсь добуток двочленних функцій кумулятивного розподілу, де ймовірність "успіху" задається $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ і ймовірність "відмови" задається $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ , тому що $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$, але я міг би обійтись цим.

Чи може хтось надати якусь допомогу щодо того, як можна отримати цей розподіл? Крім того, якби це могло бути включено до будь-якої відповіді, як ця модель може бути поширена на багатоваріантний сценарій (скажімо, три чи більше випадкових змінних), це було б чудово!

(Нарешті, я зазначив, що раніше було поставлене подібне питання ( Розуміння двозначного розподілу Пуассона ), але деривація насправді не досліджувалася.)

У слайд-презентації Карліс і Нтцуфрас визначають біваріантний Пуассон як розподіл де незалежно мають розподіли Пуассона . Нагадаємо, що мати такий спосіб розподілу$(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$$X_i$$\theta_i$

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

для$k=0, 1, 2, \ldots.$

Подія - це неперервне об'єднання подій$(X,Y)=(x,y)$

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

для всіх які роблять усі три компоненти невід’ємними цілими числами, з яких ми можемо зробити висновок, що . Оскільки є незалежними, їх ймовірності множиться, звідси$i$$0 \le i \le \min(x,y)$$X_i$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

Це формула; ми зробили. Але щоб побачити, що це еквівалентно формулі у питанні, скористайтеся визначенням розподілу Пуассона, щоб записати ці ймовірності через параметри і (припускаючи, що жоден з не дорівнює нулю) переробити його алгебраїчно виглядати якомога більше, як продукт :$\theta_i$$\theta_1,\theta_2$$\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$$

Якщо ви дійсно хочете - це дещо сугестивно - ви можете повторно виразити доданки у сумі за допомогою біноміальних коефіцієнтів Та , поступаючись$\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$$\binom{y}{i}$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

точно, як у питанні.

---

Узагальнення до багатоваріантних сценаріїв може тривати декількома способами, залежно від необхідної гнучкості. Найпростіший міг би передбачити розподіл

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

для незалежних розподілених Пуассона . Для більшої гнучкості можна ввести додаткові змінні. Наприклад, використовуйте незалежні змінні Poisson і розгляньте багатоваріантний розподіл ,$X_0, X_1, \ldots,X_d$$\eta_i$$Y_1, \ldots, Y_d$$X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$$i=1, 2, \ldots, d.$

Ось спосіб отримати двоваріантний розподіл пуассона.

Нехай - незалежні випадкові величини Пуассона з параметрами . Тоді визначаємо . Загальна для обох та змінна спричиняє кореляцію пари . Тоді ми повинні обчислити функцію масової ймовірності:$X_0, X_1, X_2$$\theta_0, \theta_1, \theta_2$$Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$$X_0$$Y_1$$Y_2$$(Y_1, Y_2)$

$$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$$
Сподіваюся, що це допоможе!