Чи відповідає кожна напівпозитивна певна матриця коваріаційній матриці?

Загальновідомо, що матриця коваріації повинна бути напівпозитивно визначеною, однак чи справжнє зворотне?

Тобто, чи відповідає кожна напівпозитивна певна матриця коваріаційній матриці?

covariance matrix

Виходячи з визначень PD та PSD тут , так, я думаю, що так, оскільки ми можемо це зробити за допомогою побудови. Я припускаю для дещо простішого аргументу, який ви маєте на увазі для матриць з реальними елементами, але з відповідними змінами він пошириться на складні матриці.

Нехай - деяка реальна матриця PSD; з визначення, до якого я пов'язаний, воно буде симетричним. Будь-яка реальна симетрична позитивно певна матриця можна записати в вигляді . Це може бути зроблено з допомогою , якщо з ортогональної і діагоналлю і в якості матриці компонентів мудрих квадратних коренів . Таким чином, він не повинен бути повноцінним. $A$ $A$ $A = LL^T$ $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ $\sqrt{D}$ $D$

Нехай - деяка векторна випадкова величина відповідного розміру з коваріаційною матрицею (яку легко створити). $Z$ $I$

Тоді має ковариационная матриця . $LZ$ $A$

[Принаймні, це теоретично. На практиці виникають різноманітні чисельні проблеми, з якими можна вирішити, якби ви хотіли хороших результатів, і - через звичайні проблеми з обчисленням плаваючої точки - ви отримаєте лише приблизно те, що вам потрібно; тобто, дисперсія популяції обчисленого , як правило , НЕ буде точно . Але подібні речі завжди є проблемою, коли ми дійсно обчислюємо речі] $LZ$ $A$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Хоча це правда , що розкладання можна без повного рангу, Cholesky алгоритм працює тільки з регулярним . Тож без повного рангу це не може бути розкладом Чолеського. Обчислено, можна було б зробити це розкладання в однині випадку шляхом діагоналізації. (Хоча це набагато дорожче)

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

— Хорст Грюнбуш

@Horst: Чому буде нижньо трикутним?

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

— амеба

@amoeba Хоча можна було б організувати його так, воно не повинно бути нижньо трикутним, щоб аргумент працював - це особливість Чолеського, але це не потрібно, щоб результат працював.

— Glen_b -Встановіть Моніку

@Glen Чи є симетричним обов'язковою умовою наявності PSD чи це визначення одне з багатьох?

— 114

@ 114 про співвідношення між симетричними та PSD див. Math.stackexchange.com/questions/516533/…

— Франк