Яка максимальна оцінка правдоподібності коваріації біваріантних нормальних даних, коли середнє значення та дисперсія відомі?

Припустимо, у нас є випадкова вибірка з двовимірного нормального розподілу, який має нулі як засоби, а відхилення - тому єдиний невідомий параметр - коваріація. Що таке MLE коваріації? Я знаю, що це має бути щось на зразок але як ми це знаємо? $\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n}x_j y_j$

— Стейсі
джерело

Як початківець, ви не вважаєте, що оцінити засоби за допомогою та трохи нечітко, коли насправді ми знаємо, що вони 0 і 0?

\bar{x}

$\bar{x}$

\bar{y}

$\bar{y}$

— Вольфганг

Дуже дядько, виправив це. Тим не менш не бачиш, як це легко простежити. Це аналог дисперсії вибірки, але чому це MLE (якщо це не так, і я зробив ще одну помилку)

— Стейсі

Ви видалили ? Прийняття цієї формули не означає, що ви вважаєте та як оцінки засобів.

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i - \bar y)$

\bar{x}

$\bar x$

\bar{y}

$\bar y$

— Стефан Лоран

@ StéphaneLaurent Так, у початковому дописі формула була подана так, як ви її написали.

— Вольфганг

Оцінювач коефіцієнта кореляції (який у випадку двовимірного стандарту дорівнює коваріації)

\tilde{r} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}

$\tilde r = \frac 1n\sum_{i=1}^nx_iy_i$

- це оцінювач «Метод моменту», коваріація вибірки. Давайте подивимось, чи збігається вона з максимальним оцінкою ймовірності, . $\hat \rho$

Спільна щільність стандартного двовимірного нормальна коефіцієнт кореляції İŞ $\rho$

f (x, y) = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \exp {- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 ρ x y}{2 (1 - ρ^{2})}}

$f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{x^2 +y^2 -2\rho xy}{2(1-\rho^2)}\right\}$

і таким чином, імовірність ідентифікації зразка iid розміру є $n$

\ln L = - n \ln (2 π) - \frac{n}{2} \ln (1 - ρ^{2}) - \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2} - 2 ρ x_{i} y_{i})

$\ln L = -n\ln(2\pi) -\frac n2\ln(1-\rho^2) - \frac 1{2(1-\rho^2)}\sum_{i=1}^n(x_i^2 +y_i^2 -2\rho x_iy_i)$

(тут припущення про iid стосується кожного малюнка з двовимірної сукупності звичайно)

Прийняття похідної відносно та встановлення її дорівнює нулю дає поліном 3d ступеня у : $\rho$ $\rho$

\hat{ρ} : n {\hat{ρ}}^{3} - (\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}) {\hat{ρ}}^{2} - (1 - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2})) n \hat{ρ} - \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 0

$\hat \rho: n\hat \rho^3 -\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)\hat\rho^2 -\left(1- \frac 1n\sum_{i=1}^n(x_i^2 +y_i^2) \right)n\hat \rho - \sum_{i=1}^nx_iy_i =0$

Наскільки правильні обчислення можна перевірити, якщо взяти очікуване значення похідної, оцінене за справжнім коефіцієнтом rho-, воно буде рівне нулю. $\rho$

Для компактності, записи , який є сумою зразка дисперсії і . Якщо розділити вираз 1-го похідного на з'явиться оцінка MoM, конкретно $(1/n)\sum_{i=1}^n(x_i^2 +y_i^2) = (1/n)S_2$ $X$ $Y$ $n$

\hat{ρ} : {\hat{ρ}}^{3} - \tilde{r} {\hat{ρ}}^{2} + [(1 / n) S_{2} - 1] \hat{ρ} - \tilde{r} = 0

$\hat \rho: \hat \rho^3 -\tilde r \hat \rho^2 + \big[(1/n)S_2-1\big]\hat \rho -\tilde r=0$

\Rightarrow \hat{ρ} ({\hat{ρ}}^{2} - \tilde{r} \hat{ρ} + [(1 / n) S_{2} - 1]) = \tilde{r}

$\Rightarrow \hat \rho\Big(\hat \rho^2 -\tilde r \hat \rho + \big[(1/n)S_2-1\big] \Big) = \tilde r$

Роблячи алгебру, не важко зробити висновок, що ми отримаємо якщо і тільки якщо , тобто лише в тому випадку, коли сума відхилень вибірки дорівнює сума істинних дисперсій. Так взагалі $\hat \rho = \tilde r$ $(1/n)S_2 =2$

\hat{ρ} \neq \tilde{r}

$\hat \rho \neq \tilde r$

То що ж тут відбувається? Хтось розумніший пояснить це, на даний момент спробуємо моделювання: я створив iid вибірку з двох стандартних нормалей з коефіцієнтом кореляції . Розмір вибірки становив . Значення вибірки були $\rho=0.6$ $n=1.000$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 522.05, S_{2} = 1913.28

$\sum_{i=1}^nx_iy_i = 522.05,\;\;S_2 = 1913.28$

Оцінювач «Метод моменту» дає нам

\tilde{r} = \frac{522.05}{1000} = 0.522

$\tilde r = \frac {522.05}{1000} = 0.522$

Що відбувається з імовірністю журналу? Візуально ми маємо

введіть тут опис зображення

Числово ми маємо

\begin{array}{rrr} ρ & 1st deriv & lnL \\ 0.5 & - 70.92 & - 783.65 \\ 0.51 & - 59.41 & - 782.47 \\ 0.52 & - 47.7 & - 781.48 \\ 0.53 & - 35.78 & - 780.68 \\ 0.54 & - 23.64 & - 780.1 \\ 0.55 & - 11.29 & - 779.75 \\ 0.56 & 1.29 & - 779.64 \\ 0.57 & 14.1 & - 779.81 \\ 0.58 & 27.15 & - 780.27 \\ 0.59 & 40.44 & - 781.05 \\ 0.6 & 53.98 & - 782.18 \end{array}

$\begin{array}{| r | r | r |} \hline \hline ρ&\text{1st deriv}&\text{lnL}\\ \hline 0.5&-70.92&-783.65\\ 0.51&-59.41&-782.47\\ 0.52&-47.7&-781.48\\ 0.53&-35.78&-780.68\\ 0.54&-23.64&-780.1\\ 0.55&-11.29&-779.75\\ 0.56&1.29&-779.64\\ 0.57&14.1&-779.81\\ 0.58&27.15&-780.27\\ 0.59&40.44&-781.05\\ 0.6&53.98&-782.18\\ \hline \end{array}$

і ми бачимо, що ймовірність журналу має максимум tad до де також перша похідна стає нульовою . Жодних сюрпризів для значень не показано. Також у 1-ї похідної немає іншого кореня. $\rho=0.56$ $(\hat \rho = 0.558985)$ $\rho$

Таким чином, це моделювання узгоджується з результатом того, що оцінка максимальної вірогідності не дорівнює методу оцінювання моментів (який є коваріацією вибірки між двома rv).

Але виявляється, що "всі" говорять, що це повинно ... тож хтось повинен придумати пояснення.

ОНОВЛЕННЯ

Посилання, що доводить, що MLE є оцінником методу моменту: Anderson, TW, & Olkin, I. (1985). Максимально вірогідна оцінка параметрів багатоваріантного нормального розподілу. Лінійна алгебра та її застосування, 70, 147-171.
Чи важливо, що тут всі засоби та відхилення можуть змінюватися та не фіксуватися?

... Мабуть, так, тому що коментар хлопця в іншій (тепер видаленій) відповіді говорить про те, що з заданими середніми та дисперсійними параметрами біваріантний нормальний стає членом зігнутої експоненціальної сім'ї (і тому деякі результати та властивості змінюються) ... що, здається, є єдиним способом узгодити два результати.

— Алекос Пападопулос
джерело

Це трохи дивно, але після деякого роздуму цього слід очікувати. Проблему можна переосмислити як оцінку коефіцієнта регресії в моделі де . Це не лінійна модель, тому немає підстав очікувати, що MLE буде простим точковим продуктом. Ця ж логіка показує (я думаю!), Що якщо ми знаємо лише тоді MLE є , а якщо ми знаємо лише . Якщо ми не знаємо жодного з них, ми отримуємо ваш оцінювач MOM.

ρ

$\rho$

Y = ρ X + ϵ

$Y = \rho X + \epsilon$

ϵ \sim N (0, {\sqrt{1 - ρ^{2}}}^{2})

$\epsilon \sim \mathcal N(0, \sqrt{1 - \rho^2}^2)$

Var (X)

$\mbox{Var}(X)$

x^{'} y / x^{'} x

$x'y / x'x$

x^{'} y / y^{'} y

$x'y / y'y$

Var (Y)

$\mbox{Var}(Y)$

— хлопець

@guy: Дуже цікаво. Я вважаю, що ці аргументи, якщо їх трохи розширити, цілком заслуговують на те, щоб бути викладеними як окрема відповідь!

— амеба

@guy Я не думаю, що ця формулювання є рівнозначною, тому що ймовірність журналу в створеній регресії містить квадрат . Коефіцієнт приєднаний до , відсутній у формулі біваріантної щільності.

ϵ^{2} = (y - ρ x)^{2} = y^{2} - 2 ρ x y + ρ^{2} x^{2}

$\epsilon^2=(y-\rho x)^2 = y^2 -2\rho xy + \rho^2 x^2$

ρ^{2}

$\rho^2$

x^{2}

$x^2$

— Алекос Пападопулос

Моя здогадка - . Уявіть, що і , тоді очікується оцінка .

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i - \bar y)$

n = 2

$n=2$

y_{1} = y_{2}

$y_1=y_2$

0

$0$

— Стефан Лоран

@AlecosPapadopoulos . Термін скасовується знаменником , тому єдиним терміном з даних, що сприяє вашій початковій імовірності журналу, є . Але це також безпосередньо від відомої факторизації , . Інші мої твердження є помилковими, оскільки я нехтував включити до них термін .

x^{2} + y^{2} - 2 ρ x y = (1 - ρ^{2}) x^{2} + (y - ρ x)^{2}

$x^2 + y^2 - 2\rho x y = (1 - \rho^2) x^2 + (y - \rho x)^2$

(1 - ρ^{2}) x^{2}

$(1 - \rho^2) x^2$

(1 - ρ^{2})

$(1 - \rho^2)$

(y - ρ x)^{2} / (1 - ρ^{2})

$(y - \rho x)^2 / (1 - \rho^2)$

X \sim N (μ_{X}, σ_{X}^{2})

$X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)$

[Y | X] \sim N (μ_{Y} + ρ_{X} \frac{σ_{Y}}{σ_{X}} (X - μ_{X}), σ_{Y | X}^{2} {\sqrt{1 - ρ^{2}}}^{2})

$[Y|X] \sim N(\mu_Y + \rho_X \frac{\sigma_Y}{\sigma_X} (X - \mu_X), \sigma^2_{Y|X} \sqrt{1 - \rho^2}^2)$

σ_{Y} / σ_{X}

$\sigma_Y/\sigma_X$

— хлопець

За заявлених умов ( і ) функція ймовірності для випадкової вибірки розміром дорівнює $\mu_X = \mu_Y = 0$ $\sigma_X = \sigma_Y = 1$ $n$

L (ρ | X, Y) = \frac{1}{(2 π [1 - ρ^{2}])^{n / 2}} \exp [- \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} (X^{'} X - 2 ρ X^{'} Y + Y^{'} Y)] .

$L(\rho\; |\; X, Y) = \frac{1}{(2\pi[1-\rho^2])^{n/2}}\exp \left[-\frac{1}{2(1-\rho^2)}(X'X - 2\rho X'Y + Y'Y)\right].$

Тепер знайдіть імовірність журналу та візьміть похідну стосовно . Далі встановіть його рівним 0, вирішивши для . Звичайно, слід зробити відповідний тест, щоб показати, що ви виявили, що насправді є глобальним максимумом. $\rho$ $\hat{\rho}$

— Денніс
джерело