Чи має значення нульова кореляція залежність?

Ми знаємо про те, що нульова кореляція не передбачає незалежності. Мене цікавить, чи означає ненульове співвідношення залежність - тобто якщо для деяких випадкових змінних і , чи можна взагалі сказати, що ?Corr ( X , Y ) ≠ 0 X Y f X , Y ( x , y ) ≠ f X ( x ) f Y ( y $\text{Corr}(X,Y)\ne0$$X$$Y$$f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

Так, тому що

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$$

$$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$$

що було б неможливо, якщо f X , Y ( x , y ) - f X ( x ) f Y ( y ) = 0 ,∀ { x , y } . Так$f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$$

Питання: що відбувається з випадковими змінними, що не мають щільності?

Нехай X і Y позначають випадкові величини такими, що E [ X 2 ] і E [ Y 2 ] є кінцевими. Тоді E [ X Y ] , E [ X ] і E [ Y ] всі скінченні.$X$$Y$$E[X^2]$$E[Y^2]$$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$

Restricting our attention to such random variables, let $A$ denote the statement that $X$ and $Y$ are independent random variables and $B$ the statement that $X$ and $Y$ are uncorrelated random variables, that is, $E[XY] = E[X]E[Y]$. Then we know that $A$ implies $B$, that is, independent random variables are uncorrelated random variables. Indeed, one definition of independent random variables is that $E[g(X)h(Y)]$ equals $E[g(X)]E[h(Y)]$ for all measurable functions $g(\cdot)$ and $h(\cdot)$). This is usually expressed as

$$A \implies B.$$ But $A \implies B$ is logically equivalent to $\neg B \implies \neg A$, that is,

correlated random variables are dependent random variables.

If $E[XY]$, $E[X]$ or $E[Y]$ are not finite or do not exist, then it is not possible to say whether $X$ and $Y$ are uncorrelated or not in the classical meaning of uncorrelated random variables being those for which $E[XY] = E[X]E[Y]$. For example, $X$ and $Y$ could be independent Cauchy random variables (for which the mean does not exist). Are they uncorrelated random variables in the classical sense?

Here a purely logical proof. If $A\rightarrow B$ then necessarily $\neg B \rightarrow \neg A$, as the two are equivalent. Thus if $\neg B$ then $\neg A$. Now replace $A$ with independence and $B$ with correlation.

Think about a statement "if volcano erupts there are going to be damages". Now think about a case where there are no damages. Clearly a volcano didn't erupt or we would have a condtradicition.

Similarly, think about a case "If independent $X,Y$, then non-correlated $X,Y$". Now, consider the case where $X,Y$ are correlated. Clearly they can't be independent, for if they were, they would also be correlated. Thus conclude dependence.