Який розподіл призводить до додавання двох розподілів Pareto

Мені цікаво, який розподіл призводить до додавання двох (або більше) типів-одного розподілу Парето форми . Експериментально це виглядає як двомодовий закон про владу, асимптотичний різниці альфа. $x^{-\alpha}$

distributions power-law pareto-distribution

— AMG
джерело

Останнє зауваження дає змогу звучати так, ніби ви споглядаєте альфа, що відрізняється між розподілами. Ви збираєтеся виправити домени (також "масштаби") дистрибутивів чи ні? Швидкий розрахунок Mathematica вказує, що PDF включає в якості одного з його термінів добуток та різницю розподілу Beta у і бета-розподіл в . Для . Цей результат не застосовуватиметься до великих та , тож чи існують обмеження щодо можливих значень параметрів, в яких ви зацікавлені?

x^{- α - β}

$x^{-\alpha-\beta}$

(- α, 1 - β)

$(-\alpha,1-\beta)$

1 - 1 / x

$1-1/x$

1 / x

$1/x$

0 < α < β < 1

$0\lt\alpha\lt\beta\lt 1$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— качан

У наступному документі пропонується розширення CDF та спосіб його наближення: docs.isfa.fr/labo/2012.16.pdf

— RUser4512

Відредагований, щоб бути трохи читабельнішим. Розподіли додаються шляхом згортки. Розподіл Парето є мудро визначеним як для і 0 для . Згортання двох функцій Парето і дорівнює: $k^a x^{-a-1}$ $x\geq k$ $x<k$ $k^a x^{-a-1}$ $j^b x^{-b-1}$

a (- 1)^{- b} b k^{a} j^{b} Γ (a + b + 1) \times ({(\frac{1}{t - j})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{t - j}) - {(\frac{1}{k})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{k})),

$a (-1)^{-b} b k^a j^b \Gamma (a+b+1) \times \\ \left(\left(\frac{1}{t-j}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{t-j}\right)- \\ \left(\frac{1}{k}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{k}\right)\right),$

де і 0 для , яке, хоча складне поле в межах цього терміну, реально оцінюється поза ним. є гіпергеометричним2F1, регульованим тут, у коді Mathematica. Не всі варіанти параметрів дають позитивні функції щільності. Ось приклад того, коли вони позитивні. Для двох розподілів Парето нехай a = 2, b = 3, j = 0,1 і k = 0,3. а їх ділянки синьою для функції {k, a} та оранжевою для функції {j, b}. Їх згортання тоді графічно виглядає, коли при огляді хвости схоже на те, де зелена - це згортка. $j+k<x$ $x\leq j+k$ $\, _2\tilde{F}_1(w,x;y;z)$

З вашого питання, можливо, ви запитаєте про звичайне додавання двох розподілів Pareto. У цьому випадку площа під кривою - дві, тому сума - це не функція щільності, яка повинна мати площу під кривою одиниці. Однак якщо це питання, то для спрощується до , який має межу лише у випадку, якщо , і дорівнює 0 або нескінченності у всіх інших випадках. Іншими словами, арифметична сума двох розподілів Парето має лише хвости, які є різницею між і коли $\frac{a k^a t^{-a-1}+b j^b t^{-b-1}}{t^{a-b-1}}$ $b>a>0$ $t^{-2 a} \left(b t^a j^b+a k^a t^b\right)$ $a k^a$ $b=2a$ $a$ $b$ $b=2a$ , а арифметична сума не є функцією густини, і суму треба було б масштабувати на дві ймовірності, , щоб бути функцією щільності. Хоча арифметичне додавання функцій щільності для визначення іншої функції щільності все ж відбувається, це незвично. Один із прикладів цього відбувається у фармакокінетиці, де для визначення функції щільності використовується сума двох або більше експоненціальних розподілів. Якщо коротко розповісти, я б це не рекомендував. $1=p+q$

Сподіваємось, це відповідає на ваше запитання. Якщо цього немає, будь ласка, заперечте мою відповідь або будь-ласка, додайте ще трохи інформації.

— Карл
джерело

@gung Дякую за прибирання. Чи потрібен мені якийсь етикет для цього? Чи отримує репутація, відведена на прибирання, чи просто добру волю?

— Карл

Безкоштовно, @Carl. Якщо ваша репутація <2k (?), Коли ви пропонуєте редагувати її і затверджувати, ви отримуєте +2. Після цього редагування ви нічого не отримуєте. Мені не потрібна представниця, тому це не проблема. Ваша відповідь тут хороша (+1), я просто відредагував її, щоб зробити її легше читати.

— gung - Відновіть Моніку