Оцінка кількості кульок шляхом послідовного вибору кулі та маркування

Скажімо, у мене в мішку N куль. На своєму першому розіграші я відзначаю м'яч і замінюю його в мішку. На другому розіграші, якщо я беру позначений кулю, повертаю його в сумку. Якщо, однак, я беру не помічений кулю, то відзначаю його і повертаю в сумку. Я продовжую це для будь-якої кількості розіграшів. Яка очікувана кількість кульок у мішку з урахуванням кількості нічиїх та відміченої / немаркованої історії жеребкування?

— ашемон
джерело

Можливо, пов’язано: чи ви переглядали метод захоплення-відтворення, щоб оцінити чисельність населення? en.wikipedia.org/wiki/Mark_and_recapture

— a.arfe

«Очікуване число» не може бути зрозуміле в своєму звичайному технічному сенсі очікуваної вартості, тому що немає ніякого розподілу ймовірності для . Схоже , що ви просите для оцінки з .

N

$N$

N

$N$

— whuber

Ось ідея. Нехай кінцеве підмножина натуральних чисел , які будуть служити в якості можливих значень для . Припустимо, ми маємо попередній розподіл по $\mathcal{I}$ $N$ $\mathcal{I}$ . Зафіксуйте невипадкове додатне ціле число $M$ . Дозволяє $k$ бути випадковою змінною, що позначає кількість разів, коли ми позначаємо кулю $M$ малює з мішка. Мета - знайти $E(N|k)$ . Це буде функцією $M,k$ і попередній.

За правилом Байєса у нас є

\begin{aligned} P (N = j | k) & = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{P (k)} \\ = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{\sum_{r \in I} P (k | N = r) P (N = r)} \end{aligned}

$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$

Обчислення $P(k|N=j)$ - відомий розрахунок, який є варіантом задачі про збирачів купонів. $P(k|N=j)$ - це ймовірність, яку ми спостерігаємо $k$ виразні купони в $M$ малює, коли є $j$ талони загалом. Дивіться тут аргумент для

P (k | N = j) = \frac{(\binom{j}{k}) k! S (M, k)}{j^{M}}

$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$

де позначає перемішувальне число другого роду . Потім ми можемо розрахувати $S$

E (N | k) = \sum_{j \in I} j P (N = j | k)

$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$

Нижче наведені деякі розрахунки для різних і . У кожному випадку ми використовуємо рівномірну форму на $k$ $M$ $[k,10k]$

\begin{array}{ccc} M & k & E (N) \\ 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69 \\ 30 & 15 & 20.00 \\ 30 & 20 & 39.53 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$

— користувач35546
джерело